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Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Semestre 1 Devoir 3 Modèle 2

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

I- Exercice 1 (8 pts)

 

On considère la fonction f définie par : fx=exe2x+1

  1. Étudier la parité de f.
  1. Calculer limx→+∞fx, interpréter le résultat.
  1. Montrer que .∀x∈ℝ f'x=ex1-e2xe2x+12
  1. Étudier le sens de variation de f et donner le tableau de variation.
  1. Déduire que ∀x∈ℝ 0<fx≤12.
  1. Construire la courbe Cf.
  1. Montrer que l’équation fx=x admet dans I=0;12 une seule solution α.
  1. Montrer que ∀x∈I f'x≤12.

On considère la suite unn∈ℕ )n définie par u0=0 et un+1=fun.

  1. Montrer que  ∀n∈ℕ 0≤un≤12.
  1. Montrer que ∀n∈ℕ un+1-α≤12un-α.
  1. Déduire que unn∈ℕ est convergente et déterminer sa limite.

 

II- Exercice 2 (7 pts)

 

Soit n un entier non nul.

On considère la fonction fn définie par : fnx=ex+xn.

  1. Calculer les limites de fn.

2) Étudier les variations de fn, et dresser le tableau de variation.

  1. Montrer que l’équation fnx=0 admet une seule solution an, et que an∈]-∞;0[.
  1. Montrer que la suite ann≥3 est décroissante.
  1. Montrer que fn-lnn>0, et déduire que limn→+∞an=-∞.
  1. Déterminer le signe fn-lnn>0, déduirelimn→+∞ann .
  1. Vérifier que ∀n∈ℕ* anlnn=-1+ln-anlnn, puis déduire que limn→+∞anlnn=-1.

 

III- Exercice 3 (5 pts)

 

On pose gz=1-zz¯ pour tout z∈ℂ*.

  1. Résoudre dans ℂ l’équation gz=1-i.
  1. Montrer que ∀z∈ℂ* gz=gz¯⇔z-z¯z+z¯+1=0.
  1. En déduire l’ensemble E=Mz∈P/gz∈ℝ.

On pose z=eiθ.

  1. Montrer que 1-cosθ=2cos2θ2, puis déterminer gz sous forme trigonométrique.

 

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