Math 2Bac Eco-SGC - Semestre 1 Devoir 3 Modèle 2

I- Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=\frac{8\left(x-1\right)}{x+2}+1$

Et on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=2\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right) \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}\right.$

Représentation graphique et conjectures

1. Dresser le tableau de variation de $f$ et montrer que $f\left(\left[2;6\right]\right)\subset \left[2;6\right]$.

2. Calculer $u_1$ et $u_2$.

3. Tracer la courbe représentative $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

4. Représenter sur le graphique les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. Quelles conjectures peut-on faire ?

Utilisation de la fonction $f$ pour déterminer la limite de $\left(u_n\right)$

5. Étudier les variations de $\left(u_n\right)$.

6. Montrer que $\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}} : 2\le u_n\le 6$.

7. En déduire que $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

Utilisation d'une suite intermédiaire pour déterminer la limite de $\left(u_n\right)$

On pose pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}} : v_n=\frac{u_n-6}{u_n-1}$

8. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique en précisant ses éléments caractéristiques.

9. Calculer $v_n$ puis un en fonction de $n$.

10. En déduire alors la limite de $\left(u_n\right)$.

Utilisation du théorème d'encadrement pour déterminer la limite de $\left(u_n\right)$

11. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : \frac{3}{8}\left(6-u_n\right)\le 6-u_{n+1}\le \frac{3}{4}\left(6-u_n\right)$.

12. Montrer par récurrence que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : 4{\left(\frac{3}{8}\right)}^n\le 6-u_n\le 4{\left(\frac{3}{4}\right)}^n$.

13. En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.

II- Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $I=]4;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=\frac{3x^3-26x^2+64x-31}{{\left(x-4\right)}^2}$

1. Trouver trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $\left(\forall x\in I\right) : f\left(x\right)=ax+b+\frac{c}{{\left(x-4\right)}^2}$.

2. Déterminer les primitives $F$ de la fonction $f$ sur $I$.

3. Déterminer la primitive $G$ de la fonction $f$ telle que $G\left(2\right)=\frac{1}{2}$.

III- Exercice 3

Une usine fabrique des pièce de rechange (au plus, 5000 pièces de rechange).

Le coût marginal est $C_m\left(k\right)=\frac{1}{4}{k}^3-k^2+4$ tel que $k\in \left[0;5\right]$.

1. Déterminer le coût total $C_T\left(k\right)$ pour fabriquer $k$ mille pièce sachant que $C_T\left(0\right)=45$.

2. En déduire le coût moyen $C_M\left(k\right)$ en fonction de $k$.