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Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Semestre 1 Devoir 3 Modèle 2

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

I- Exercice 1 (4 pts)

 

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct O;i→;j→, on considère les points A2;0 et B1;3.

  1. Calculer le produit scalaire AO→.AB→ et les distances AO et AB.
  1. Calculer cosAO→;AB→¯ et sinAO→;AB→¯.
  1. Déterminer la mesure principale de l’angle orienté AO→;AB→.
  1. En déduire la nature du triangle ABC.

 

II- Exercice 2 (10 pts)

 

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct O;i→;j→, on considère les points A-1;2 et B3;-4.

Soit C l’ensemble des points M du plan qui vérifient : AM→.BM→=-4

  1. Montrer que x2+y2-2x+2y-7=0 est une équation cartésienne de l’ensemble C.
  1. Montrer que C est un cercle de centre Ω1;-1 et de rayon R=3.
  1. Vérifier que le point K1;2 appartient au cercle C.
  1. Donner une équation cartésienne de la droite D la tangente au cercle C en K.
  1. Montrer que la droite Δ d’équation x+y+3=0 coupe le cercle C en deux points.
  1. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la droite Δ et le cercle C.
  1. Résoudre graphiquement le système :

x2+y2-2x+2y-7<0x+y+3>0

  1. Vérifier que le point H1;4 est situé à l’extérieur du cercle C.
  1. Donner les équations des tangentes au cercle C et qui passe par le point H1;4.

 

III- Exercice 3 (6 pts)

 

Soit  la suite numérique définie par u0=2 et ∀n∈ℕ: un+1=3un2un+1.

  1. Calculer les termes u1 et u2.
  1. Montrer que : ∀n∈ℕ: un>1
  1. Montrer que la suite unn∈ℕ est décroissante.
  1. En déduire que la suite unn∈ℕ est bornée.
  1. Montrer que : ∀n∈ℕ: un+1-1≤13un-1
  1. En déduire que : ∀n∈ℕ: 0<un-1≤13n

 

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