Math 1Bac S.Exp - Semestre 1 Devoir 2 Modèle 2

I- Exercice 1 (7 pts)

On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies par : $f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$ et $g\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^3$

$\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ sont respectivement les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans le repère $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

1. Déterminer $D_f$ l’ensemble de définition de la fonction $f$.

2. Déterminer la nature de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et ses éléments caractéristiques.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

4. Déterminer $D_g$ l’ensemble de définition de la fonction $g$.

5. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.

6. Calculer $f\left(2\right)$, $g\left(2\right)$, $f\left(0\right)$ et $g\left(0\right)$. Interpréter géométriquement ce résultat.

7. Construire $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ dans le même repère $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

8. Résoudre graphiquement dans $D_f$ l’inéquation : $\frac{4x}{x-1}-x^3\ge 0$

II- Exercice 2 (5 pts)

On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies par : $f\left(x\right)=-x^2+4x-3$ et $g\left(x\right)=\sqrt{x+3}$

1. Déterminer $D_f$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

2. Déterminer $D_g$ et dresser le tableau de variations de la fonction $g$.

3. Montrer que l’ensemble de définition de la fonction $gof$ est $D_{gof}=\left[0;4\right]$.

4. Calculer $gof\left(x\right)$ pour tout $x\in \left[0;4\right]$.

5. Montrer que $gof$ est strictement croissante sur $\left[0;2\right]$ et strictement décroissante sur $\left[2;4\right]$.

6. Dresser le tableau de variations de la fonction $gof$ et déduire que $\left(\forall x\in \left[0;4\right]\right): \sqrt{4x-x^2}-2\le 0$.

III- Exercice 3 (8 pts)

Soit $ABC$ un triangle, et soit $G$ un point tel que $G=bary\left\{\left(A;3\right),\left(B;2\right),\left(C;5\right)\right\}$.

1. Montrer que $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, et construire le point $G$.

Soit $I$ un point du plan tel que : $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$.

2. Montrer que : $I=bary\left\{\left(A;3\right),\left(B;2\right)\right\}$

3. En déduire que le point $G$ est le milieu du segment $\left[IC\right]$.

Soit $J$ un point du plan tel que : $7\overrightarrow{BJ}-5\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$.

4. Montrer que : $J=bary\left\{\left(B;2\right),\left(C;5\right)\right\}$

5. En déduire que les points $G$, $A$ et $J$ sont alignés.

La droite $\left(BG\right)$ coupe la droite $\left(AC\right)$ en un point $K$.

6. Montrer que : $K=bary\left\{\left(A;3\right),\left(C;5\right)\right\}$

7. Sachant que $A\left(2;5\right)$, $B\left(1;0\right)$ et $C\left(0;3\right)$, déterminer les coordonnées du point $G$.

8. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que :

$||3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+5\overrightarrow{MC}||=||6\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}||$