Séance 11 - Vecteurs de l’espace

Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Séance 11 (Vecteurs de l’espace)

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

Sommaire

I- Égalité de deux vecteurs - Somme de deux vecteurs

1-1/ Éléments caractéristiques d’un vecteur

1-2/ Égalité de deux vecteurs

1-3/ Somme de deux vecteurs

II- Colinéarité de deux vecteurs - Définition vectorielle d’une droite

2-1/ Multiplication d’un vecteur par un réel

2-2/ Colinéarité de deux vecteurs - Alignement de trois points

2-3/ Définition vectorielle d’une droite de l’espace

III- Définition vectorielle d’un plan - Les vecteurs coplanaires

3-1/ Définition vectorielle d’un plan

3-2/ Vecteurs coplanaires

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

4-5/ Exercice 5

4-6/ Exercice 6

I- Égalité de deux vecteurs - Somme de deux vecteurs

1-1/ Éléments caractéristiques d’un vecteur

Soient $A$ et $B$ deux points différents de l’espace.

Si on pose $\vec{u} = \vec{A B}$ alors :

La direction du vecteur $\vec{u}$ est la droite $(A B)$ .
Le sens du vecteur $\vec{u}$ est celui de $A$ vers $B$ .
La norme du vecteur $\vec{u}$ est la distance $A B$ , et on écrit : $||\vec{u}|| = A B$ .

Remarques

Pour tout point $A$ de l’espace, le vecteur $\vec{A A}$ n’a pas de direction et sa norme est nulle, $\vec{A A}$ est appelé vecteur nul, et on écrit : $\vec{A A} = \vec{0}$ .

Pour tout vecteur $\vec{u}$ et tout point $A$ de l’espace, il existe un et un seul point $M$ de l’espace tel que $\vec{A M} = \vec{u}$ .

1-2/ Égalité de deux vecteurs

Définition

On dit que deux vecteurs sont égaux, s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Propriété

Soit $A B C D$ un quadrilatère dans l’espace.

$A B C D$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

1-3/ Somme de deux vecteurs

Définition

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace.

La somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur $\vec{w}$ tel que :

Si on pose $\vec{u} = \vec{A B}$ et $\vec{v} = \vec{B C}$ , alors $\vec{w} = \vec{A C}$ et on écrit : $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ .

Relation de Chasles

Pour tous points $A$ , $B$ et $C$ de l’espace, on a : $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}$ .

Opposé d’un vecteur

Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l’espace, l’opposé du vecteur $\vec{u}$ et le vecteur qui a la même direction, et la même norme que le vecteur $\vec{u}$ , mais il est de sens contraire au vecteur $\vec{u}$ , il est noté $- \vec{u}$ .

Pour tout points $A$ et $B$ on a : $\vec{B A} = - \vec{A B}$ .

Remarque

Soient $O$ , $M$ , $N$ et $R$ quatre points de l’espace.

$\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{O R}$ si et seulement si $O M N R$ est un parallélogramme.

II- Colinéarité de deux vecteurs - Définition vectorielle d’une droite

2-1/ Multiplication d’un vecteur par un réel

Définition

Soient $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel non nul.

Le produit du vecteur u par le réel k est le vecteur noté $k . \vec{u}$ , ou simplement $k \vec{u}$ , qui vérifie les condition suivants :

$k \vec{u}$ et $\vec{u}$ ont la même direction.
$||k \vec{u}|| = |k| \times ||\vec{u}||$
$k \vec{u}$ a le même sens que celui de $\vec{u}$ si $k > 0$
$k \vec{u}$ a de sens contraire que celui de $\vec{u}$ si $k < 0$

Propriétés

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et pour tous réels $k$ et $k'$ on a :

$(k + k') \vec{u} = k \vec{u} + k' \vec{u} k (\vec{u} + \vec{v}) = k \vec{u} + k \vec{v} k (k' \vec{u}) = (k k') \vec{u} k \vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow k = 0 o u \vec{u} = \vec{0} 1 . \vec{u} = \vec{u}$

2-2/ Colinéarité de deux vecteurs - Alignement de trois points

Définition

On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ .

Remarque

Le vecteur nul est colinéaire avec tous les vecteurs de l’espace.

Conséquences

Soient $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ deux vecteurs non nuls de l’espace.

( $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ sont colinéaire) $\Leftrightarrow$ ( $A$ , $B$ et $C$ sont alignés).

( $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ sont colinéaire) $\Leftrightarrow$ $((A B) / / (C D))$ .

2-3/ Définition vectorielle d’une droite de l’espace

Définition

Soient $A$ et $B$ deux ponts distincts de l’espace.

Tout vecteur non nul colinéaire avec le vecteur $\vec{A B}$ est appelé vecteur directeur de $(A B)$ .

Propriété

Soit $A$ un point de l’espace et $\vec{u}$ un vecteur non nul.

L’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $\vec{A M} = k \vec{u}$ où $k \in ℝ$ , est la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ . Cette droite est notée $D (A; \vec{u})$ .

On a : $D (A; \vec{u}) = \{M \in (E) / \vec{A M} = k \vec{u}; k \in ℝ\}$ . (où $(E)$ =l’espace).

III- Définition vectorielle d’un plan - Les vecteurs coplanaires

3-1/ Définition vectorielle d’un plan

Définition

Soit $(P)$ un plan de l’espace et $A$ , $B$ et $C$ trois points non alignés du plan $(P)$ .

On dit que $(P)$ est le plan passant par A et de vecteurs directeurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ .

Remarque

$\vec{B A}$ et $\vec{B C}$ sont aussi des vecteurs directeurs du plan $(P)$ .

Conséquence

Deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et un point $A$ définissent un plan unique noté : $(P)$ .

Ce plan passant par $A$ et $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs directeurs.

On écrit $(P) = P (A; \vec{u}; \vec{v})$ .

3-2/ Vecteurs coplanaires

Définition

Soit $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l’espace.

On dit que les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires s’il existe quatre points coplanaires $A$ , $B$ , $C$ et $D$ tels que : $\vec{u} = \vec{A B}$ , $\vec{v} = \vec{A C}$ et $\vec{w} = \vec{A D}$ .

Exemple

Soit $A B C D E F G H$ un parallélépipède rectangle.

On a les vecteurs $\vec{B C}$ , $\vec{B H}$ et $\vec{B E}$ sont coplanaires car les points $B$ , $C$ , $E$ et $H$ sont coplanaires.

$\vec{B D}$ , $\vec{B H}$ et $\vec{B E}$ ne sont pas coplanaires car $B D E H$ est un tétraèdre.

Propriété

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non alignés et $\vec{w}$ un vecteur de l’espace.

Les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si, il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que $\vec{w} = x \vec{u} + y \vec{v}$ .

Conséquences

Soient $A$ , $B$ , $C$ et $M$ des points de l’espace.

S’il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ , alors les points $A$ , $B$ , $C$ et $M$ sont coplanaires.

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

$E A B C D$ est un pyramide de base le rectangle $A B C D$ , $I$ est le milieu du segment
$[A E]$ et $J$ est le milieu du segment $[B C]$ .

Montrer que les vecteurs $\vec{A B}$ , $\vec{E C}$ et $\vec{I J}$ sont coplanaires.

4-2/ Exercice 2

Soit $A B C D$ un tétraèdre, et soit le point $M$ de l’espace tel que :

$\vec{A M} = \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{D C}$

Montrer que $M \in (A B C)$ .

En déduire que les vecteurs $\vec{A M}$ , $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ sont coplanaires.

4-3/ Exercice 3

Soit $A B C D$ un tétraèdre, et soient les points $K$ , $L$ , $M$ et $N$ tel que $2 \vec{A K} = \vec{A C} - 2 \vec{A D}$ , $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ , $\vec{A N} = - 2 \vec{A D}$ et $L$ le milieu du $[B K]$ .

Écrire les vecteurs $\vec{A M}$ , $\vec{M N}$ et $\vec{A L}$ en fonction des vecteurs $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ et $\vec{A D}$ .

Montrer que les points $L$ , $M$ et $N$ sont alignés, et déterminer la position du point $L$ sur la droite $(M N)$ .

Déterminer les réels $α$ et $β$ tels que $\vec{A D} = α \vec{A L} + β \vec{A M}$ . Que peut-on dire des points $A$ , $M$ , $D$ et $L$ ?

4-4/ Exercice 4

Soit $A B C D E F G H$ un cube.

On pose : $\vec{A B} = \vec{i}$ , $\vec{A D} = \vec{j}$ , $\vec{A E} = \vec{k}$ et $\vec{u} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 2 \vec{k}$ avec $I$ le milieu du segment $[H G]$ .

Montrer que $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $(A I)$ .

Soient la droite $(Δ)$ passant par le point $G$ et parallèle $(A I)$ , et le point $M$ tel que $\vec{A M} = \frac{3}{2} \vec{A B} + 2 \vec{B G}$ .

Montrer que $M \in (Δ)$ .

4-5/ Exercice 5

Soit $A B C D E F G H$ un parallélépipède rectangle ou pavé droit, et soit le point $I$ de l’espace tel que $\vec{A I} = \frac{1}{3} \vec{A G}$ .

Montrer que $\vec{I B} + \vec{I D} + \vec{I E} = 3 \vec{I A} + \vec{A G}$ , et que $\vec{I E} = - \vec{I B} - \vec{I D}$ .

Que peut-on dire des points $I$ , $B$ , $D$ et $E$ .

4-6/ Exercice 6

Soit $A B C D E F G H$ un cube avec $I$ le milieu du segment $[A B]$ , $J$ le milieu de $[A D]$ et $K$ un point tel que $\vec{A K} = \frac{1}{5} \vec{A G}$ .

Écrire les vecteurs $\vec{E I}$ , $\vec{E J}$ et $\vec{E K}$ en fonction de $\vec{E A}$ , $\vec{E F}$ et $\vec{E H}$ .

Vérifier que $5 \vec{E K} = 2 \vec{E I} + 2 \vec{E J}$ .

En déduire que les points $I$ , $J$ , $K$ et $E$ sont coplanaires.

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