Séance 10 - Représentation graphique d’une fonction

Sommaire

I- Concavité d’une courbe - Points d’inflexions

1-1/ Concavité d’une courbe

1-2/ Point d’inflexion

1-3/ Concavité et dérivée seconde

II- Les asymptotes

2-1/ Asymptotes verticales

2-2/ Asymptotes horizontales

2-3/ Asymptote oblique

III- Branches paraboliques

3-1/ Branche parabolique de direction l’axe des abscisses

3-2/ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées

3-3/ Branche parabolique de direction la droite d’équation $y=ax (a\ne 0)$

3-4/ Résumé des branches parabolique et des asymptotes d’une courbe

IV- Axe de symétrie - Centre de symétrie

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

I- Concavité d’une courbe - Points d’inflexions

1-1/ Concavité d’une courbe

Définitions

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative.

On dit que la courbe $\left(C_f\right)$ est Convexe si $\left(C_f\right)$ est entièrement située au dessus de chacun de ces tangentes.

On dit que la courbe $\left(C_f\right)$ est Concave si $\left(C_f\right)$ est entièrement située au dessous de chacun de ces tangentes.

I- Concavité d’une courbe - Points d’inflexions

1-1/ Concavité d’une courbe

Exemples

La courbe de la fonction $x\mapsto x^2$ est convexe, car sa courbe est entièrement située au dessus de chacun de ses tangentes :

La courbe de la fonction $x\mapsto -x^2$ est concave, car sa courbe est entièrement située au dessous de chacun de ses tangentes :

I- Concavité d’une courbe - Points d’inflexions

1-2/ Point d’inflexion

Définition

Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $a\in I$, et $\left(C_f\right)$ la courbe représentative de $f$.

On dit que $A(a;f(a\left)\right)$ est un point d’inflexion si la courbe $\left(C_f\right)$ change sa convexité au point $A$.

I- Concavité d’une courbe - Points d’inflexions

1-2/ Point d’inflexion

Exemple

La courbe de la fonction $x\mapsto x^3$ change sa convexité au point $\left(0;0\right)$, donc $\left(0;0\right)$ est un point d’inflexion de la courbe $\left(C_f\right)$ :

I- Concavité d’une courbe - Points d’inflexions

1-3/ Concavité et dérivée seconde

Propriété

Soient $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, et $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative et $a\in I$.

- Si $f"$ est positive sur $I$, alors $\left(C_f\right)$ est convexe sur $I$.

- Si $f"$ est négative sur $I$, alors $\left(C_f\right)$ est concave sur $I$.

- Si $f"$ s’annule en $a$ en changement de signe, alors le point $A(a;f(a\left)\right)$ est un point d’inflexion de la courbe $\left(C_f\right)$.

II- Les asymptotes

2-1/ Asymptotes verticales

Définition

Si $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ou $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ ou $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ou $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$,  alors on dit que la droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe $\left(C_f\right)$ :

II- Les asymptotes

2-2/ Asymptotes horizontales

Définition

Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=b$ ou $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=b$,  alors on dit que la droite d’équation $y=b$ est une asymptote horizontale à la courbe $\left(C_f\right)$ au voisinage de $+\infty$ ou au voisinage de $-\infty$ :

II- Les asymptotes

2-3/ Asymptote oblique

Définition

Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$ (respectivement $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$) où $a\in \mathrm{ℝ}*$ et $b\in \mathrm{ℝ}$, alors on dit que la droite d’équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe $\left(C_f\right)$ au voisinage de $+\infty$ (respectivement $-\infty$) :

II- Les asymptotes

2-3/ Asymptote oblique

Propriété

La droite d’équation $y=ax+b (a\ne 0)$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$ (respectivement au voisinage de $-\infty$) si et seulement s’il existe une fonction $h$ telle que $f\left(x\right)=ax+b+h\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)=0$ (respectivement $\underset{x\to -\infty }{\lim }h\left(x\right)=0$).

II- Les asymptotes

2-3/ Asymptote oblique

Propriété

La droite d’équation $y=ax+b (a\ne 0)$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$ si et seulement si $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=a$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b$.

On a la même propriété au voisinage de $-\infty$.

III- Branches paraboliques

3-1/ Branche parabolique de direction l’axe des abscisses

Définition

Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=0$ (ou $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=0$), alors on dit que la courbe $\left(C_f\right)$ de la fonction $f$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de $+\infty$ (ou au voisinage de $-\infty$) :

III- Branches paraboliques

3-2/ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées

Définition

Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty$ ou $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=-\infty$ ou $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty$ ou $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=-\infty$, alors on dit que la courbe $\left(C_f\right)$ de la fonction $f$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

III- Branches paraboliques

3-3/ Branche parabolique de direction la droite d’équation $y=ax (a\ne 0)$

Définition

Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=a$ où $(a\ne 0)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\pm \infty$, alors on dit que la courbe $\left(C_f\right)$ de la fonction $f$ admet une branche parabolique de direction la droite d’équation $y=ax$ au voisinage de $+\infty$.

On a la même définition au voisinage de $-\infty$.

III- Branches paraboliques

3-4/ Résumé des branches parabolique et des asymptotes d’une courbe

IV- Axe de symétrie - Centre de symétrie

Propriété

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D_f$ et $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative.

La droite d’équation $x=a$ est un axe de symétrie de la courbe $\left(C_f\right)$ si et seulement si :

$\left\{\begin{array}{l}\left(\forall x\in D_f\right) : 2a-x\in D_f\\ \left(\forall x\in D_f\right) : f\left(2a-x\right)=f\left(x\right)\end{array}\right.$

Le point $\Omega \left(a;b\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $\left(C_f\right)$ si et seulement si :

$\left\{\begin{array}{l}\left(\forall x\in D_f\right) : 2a-x\in D_f\\ \left(\forall x\in D_f\right) : f\left(2a-x\right)=2b-f\left(x\right)\end{array}\right.$

IV- Axe de symétrie - Centre de symétrie

Remarques

Soit $f$ une fonction qui admet la droite $x=a$ comme axe de symétrie :

• si $f$ est croissante sur $]-\infty ;a]\cap D_f$, alors $f$ est décroissante sur $[a;+\infty [\cap D_f$
• si $f$ est décroissante sur $]-\infty ;a]\cap D_f$, alors $f$ est croissante sur $[a;+\infty [\cap D_f$

Soit $f$ une fonction qui admet le point $\Omega \left(a;b\right)$ comme centre de symétrie :

• si $f$ est croissante sur $]-\infty ;a]\cap D_f$, alors $f$ est croissante sur $[a;+\infty [\cap D_f$
• si $f$ est décroissante sur $]-\infty ;a]\cap D_f$, alors $f$ est décroissante sur $[a;+\infty [\cap D_f$

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

$f$ est la fonction définie par $f\left(x\right)=x^4-2x^2$.

1. Donner le domaine de définition de la fonction $f$.

2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

3. Étudier le comportement de la fonction $f$ au voisinage de de $+\infty$ et $-\infty$.

4. Donner le tableau de variation de la fonction $f$.

5. Déterminer les extrémums de $f$.

6. Déterminer les points d’inflexions de la courbe représentant la fonction $f$.

7. Tracer la courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

$f$ est la fonction définie par $f\left(x\right)=\frac{x^2+x+3}{2x^2+2x-4}$.

1. Donner le domaine de définition de la fonction $f$.

2. Calculer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son domaine de définition, et donner l’interprétation graphique des résultats obtenus.

3. Donner le tableau de variation de la fonction $f$.

4. Tracer la courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

5. Montrer que la droite d’équation $x=-\frac{1}{2}$ est un axe de symétrie de la courbe représentant la fonction $f$.

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

$f$ est la fonction définie par $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-4}-x$.

1. Donner le domaine de définition de la fonction $f$.

2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

3. a- Étudier la dérivabilité de $f$ en $2$ et $-2$.

3. b- Donner une interprétation géométrique des résultats de la question précédente.

4. Calculer la dérivée de la fonction $f$ et étudier son signe.

5. Donner le tableau de variation de la fonction $f$.

6. Étudier les branches infinies de la courbe $\left(C_f\right)$ représentant la fonction $f$ et tracer cette courbe.

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

On considère la fonction numérique définie sur ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ par $f\left(x\right)=x{\left(\sqrt{x}-2\right)}^2$.

Et soit $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$. Que peut-on déduire ?

2. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $0$ puis interpréter le résultat obtenu.

3. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$ : $f\text{'}\left(x\right)=2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)$

4. Étudier le signe de $f\text{'}\left(x\right)$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

5. Étudier la concavité de la courbe $\left(C_f\right)$, et montrer que $\left(C_f\right)$ admet un unique point d’inflexion $I$ auquel on déterminera les coordonnées.

6. Résoudre dans ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ l’équation $f\left(x\right)=x$ et interpréter le résultat graphiquement.

7. Tracer la courbe $\left(C_f\right)$ dans le repère $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

V- Exercices

5-5/ Exercice 5

Partie 1

On considère la fonction numérique $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par $g\left(x\right)=x^3+\sqrt{x}-2$.

1. Étudier la dérivabilité de $g$ à droite en $0$.

2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$.

3. a- Calculer $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in ]0;+\infty [$.

3. b- En déduire que $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty [$.

3. c- Dresser le tableau de variations de $g$.

4. Calculer $g\left(1\right)$ et en déduire le signe de $g\left(x\right)$ pour tout $x\in [0;+\infty [$.

Partie 2

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f\left(x\right)=\frac{x^3-4\sqrt{x}+4}{x}$

Et soit $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$, et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.

2. a-Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. b-Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty$, et interpréter le résultat graphiquement.

3. a- Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$ : $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2g\left(x\right)}{x^2}$.

3. b- Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

4. Écrire une équation de la tangente $\left(T\right)$ à la courbe $\left(C_f\right)$ au point d’abscisse $4$.

5. Tracer $\left(C_f\right)$.

V- Exercices

5-6/ Exercice 6

Partie 1

On considère la fonction numérique $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par $g\left(x\right)=6x-8x\sqrt{x}-\frac{1}{2}$.

1. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$ : $g\text{'}\left(x\right)=6\left(1-2\sqrt{x}\right)$

2. Dresser le tableau de variations de g.

3. En déduire que pour tout $x\in [0;+\infty [$ : $g\left(x\right)\le 0$.

Partie 2

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f\left(x\right)=\left(4x-1\right)\sqrt{x}-4x^2+1$.

Et soit $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

1. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et interpréter graphiquement le résultat.

2. a- Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. b- Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=-\infty$, et interpréter le résultat graphiquement.

3. a- Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$ : $f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{\sqrt{x}}$.

3. b- Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

4. Calculer $f\left(1\right)$ et tracer la courbe $\left(C_f\right)$.