Math 2AC - Semestre 2 Devoir 2 Modèle 1

Exercice 1 (8 pts)

$x$ et $y$ sont deux nombres réels tel que : $x\le y$

1. Comparer :

$$\begin{gathered} x+7 et y+7 \\ -5x et -5y \\ -2x-9 et -2y-13 \end{gathered}$$

$x$ et $y$ sont deux nombres rationnels tels que : $4\le 3x-5\le 10$ et $-2\le y\le -1$

2. Montrer que $3\le x\le 5$

3. Encadrer $4x$ et $-5y$ et $x+y$ et $x-y$ et $4x-5y$ et $xy$

4. Résoudre les inéquations suivantes :

$$\begin{gathered} 7x-4>2-x \\ -6x+9\ge -5x \\ -5x+\frac{1}{2}>\frac{x}{2}+1 \\ \frac{x}{2}+\frac{1-x}{3}>\frac{2x+3}{6} \end{gathered}$$

Soit $x$ un nombre rationnel strictement positif.

5. Comparer $x+\frac{1}{x}$ et $2$.

Exercice 2 (2 pts)

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AC=6$ et $\cos ABC=\frac{4}{5}$

1. Calculer $BC$

2. Calculer $AB$.

Exercice 3 (6 pts)

$ABEF$ est un rectangle et $M$ est son centre.

1. Simplifie :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BE} \\ \overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF} \\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF} \end{gathered}$$

2. Est-ce que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FE}$ ? justifiez votre réponse

3. Construire le point $C$ tel que $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{FB}$

4. Construire le point D tel que $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$

5. Montrer que $MEDF$ est un losange

Exercice 4 (4 pts)

1. Simplifie :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{FG} \\ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB} \\ \overrightarrow{FE}-\overrightarrow{GE}-\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{GF} \\ \overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{BC} \end{gathered}$$