Séance 11-2 : Espaces vectoriels (Exercices)

Sommaire

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

On munit ${\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$ d'une loi de composition interne $\times$ et d'une loi de composition externe $•$ comme suit :

- La loi $\times$ est la multiplication usuelle dans ${\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$.

- $\left(\forall \lambda \in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) \lambda •x=x^{\lambda }$

1. $\left({\mathrm{ℝ}}_{+}^{*};\times ;•\right)$ est-il un espace vectoriel réel ?

IV- Exercices

4-2/ Exercice 2

On considère l’ensemble suivant :

$E=\left\{M=\left(\begin{array}{ccc}a& c& b\\ b& a+c& b+c\\ c& b& a+c\end{array}\right)/\left(a;b;c\right)\in {\mathrm{ℝ}}^3\right\}$

On pose :

$I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right) ; J=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right) ; K=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

1. Vérifier que $J^2=K$ et $K^2=J+K$ et $JK=KJ=I+J$.

2. Montrer que $\left(E;+; •\right)$ est un espace vectoriel réel, et déterminer sa dimension.

3. Montrer que $\left(E;+; \times \right)$ est un anneau commutatif.

4. Vérifier que $J^2=I+J$ puis déterminer $J^{-1}$.

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

Partie A

On définit dans $\mathrm{ℂ}$ une loi de composition interne $*$ comme suit :

Pour tout $\left(a;b;x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^4, \left(a+ib\right)*\left(x+iy\right)=ax+i\left(ay+bx\right)$

1. Montrer que la loi $*$ est commutative, associative et admettant un élément neutre qu'on déterminera.

2. Déterminer $G$, ensemble des éléments symétrisables pour la loi $*$ et montrer que $(G;*)$ est un groupe commutatif.

Soit $H$ une partie de $\mathrm{ℂ}$ telle que $H\ne \left\{0\right\}$.

3. Montrer que si $(H;*)$ est groupe alors $H\subset G$.

4. Montrer que l’ensemble $E$ définie par $E=\left\{e^t+it{e}^t/t\in \mathrm{ℝ}\right\}$ est un sous-groupe de $(G;*)$.

5. Montrer que $\left(\forall z\in G\right) \overline{z}\in G$

6. Montrer que l’application $f:z\mapsto \overline{z}$ est un automorphisme de $(G;*)$.

7. Montrer que $*$ est distributive par rapport à l'addition dans $\mathrm{ℂ}$.

8. Montrer que $\left(\mathrm{ℂ};*;+\right)$ est un anneau non intègre.

9. Déterminer les diviseurs de zéro dans l’anneau $\left(\mathrm{ℂ};*;+\right)$.

Partie B

On considère l’ensemble $\mathcal{E}$ suivant :

$\mathcal{E}=\left\{M\left(a;b\right)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ 0& a\end{array}\right)/\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

1. Montrer que $(\mathcal{E};+;•)$ est un espace vectoriel réel et en déterminer une base.

2. Montrer que $\mathcal{E}$ est stable dans $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);\times \right)$.

3. Montrer que l’application $f:z=a+ib\mapsto M\left(a;b\right)$ est un isomorphisme de $\left(\mathrm{ℂ};*\right)$ dans $(\mathcal{E} ;\times )$.

4. En déduire l’ensemble des matrices admettant un inverse dans $(\mathcal{E} ;\times )$.

IV- Exercices

4-4/ Exercice 4

Partie A

On munit $\mathrm{ℝ}$ d’une loi de composition interne comme suit :

$\left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) x*y=x+y-e^{xy}+1$

1. Montrer que la loi $*$ est commutative dans $\mathrm{ℝ}$.

2. Montrer que la loi $*$ admet un élément neutre qu'on déterminera.

3. Sachant que l’équation $\left(E\right) : 3+x-e^{2x}=0$ admet deux solutions réelles distinctes $\alpha$ et $\beta$, montrer que la loi $*$ n’est pas associative.

Partie B

On rappelle que $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;\times \right)$ est un anneau non commutatif d'élément unité $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, et que $\left(\mathrm{ℂ}*;\times \right)$ est un groupe commutatif.

Pour tout $\left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$, on pose : $M\left(x;y\right)=\left(\begin{array}{cc}x& -2y\\ \frac{y}{2}& x\end{array}\right)$

Soit : $F=\left(M\left(x;y\right)/\left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right)$

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel réel $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;•\right)$.

2. Montrer que $F$ est une partie stable de $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);\times \right)$.

On considère l'application $\phi$ de $\mathrm{ℂ}*$ dans $F$ est qui, à tout nombre complexe $z=x+iy$ avec $\left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$, associe la matrice $M\left(x;y\right)$.

3. Montrer que l'application $\phi$ est un morphisme de $\left(\mathrm{ℂ}*;\times \right)$ dans $\left(F;\times \right)$.

On pose : $F*=F-\left\{M\left(0;0\right)\right\}$

4. Montrer que $\phi \left(\mathrm{ℂ}*\right)=F*$

5. Montrer que $\left(F*;\times \right)$ est un groupe commutatif.

6. Montrer que $\left(F*;+;\times \right)$ est un corps commutatif