Mathématiques : 2Bac SMA-SMB
Semestre 2 Devoir 1 Modèle 1
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
I- Exercice 1
On considère dans l’équation : .
- Déterminer le plus grand commun diviseur de et , puis en déduire que l’équation admet des solutions dans .
- Sachant que est une solution particulière de l’équation , résoudre dans l’équation en précisant les étapes de la résolution.
Soit un entier naturel non nul premier avec .
- Montrer que pour tout de , on a : .
Soient et deux entiers naturels non nuls tel que .
- Montrer que pour tout , on a : .
- En déduire que pour tout , on a : .
Soient et deux entiers naturels tel que est solution de l’équation .
- Montrer que pour tout , les deux nombres et ont le même chiffre des unités dans l’écriture dans le système décimal.
II- Exercice 2
On considère la fonction définie sur par :
- Montrer que est dérivable sur et calculer sa dérivée
- Montrer que est impaire
- Montrer que
- Déduire
- Montrer que
- Déduire que
- Étudier la branche infinie de la courbe au voisinage de
- Montrer que est bijective de vers
Soit la réciproque de .
- Montrer que est dérivable sur et
- Montrer que est deux fois dérivable sur et que
- Calculer et , puis déterminer et en fonction de
III- Exercice 3
Pour tout entier naturel , on définie la fonction sur par avec
- Étudier le sens de variation de sur
- Étudier le signe de sur
- Montrer que , et donner le tableau de variation de
- Montrer que l’équation admet une seul solution
- Montrer que la suite est décroissante et qu’elle est convergente
- Tracer la courbe , on donne
Soit un entier de .
- Montrer que
- Montrer que
- Déduire que , puis montrer que
- Étudier le sens de variation de sur l’intervalle
- En utilisant le théorème des accroissements finies à sur , montrer que :
- Déduire un encadrement du nombre