Séance 10-1-1 : Structures algébriques - Partie 1 (Cours)

Sommaire

I- Loi de composition interne

1-1/ Introduction

1-2/ Définition d'une loi de composition interne

1-3/ Partie stable - Loi induite

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-1/ Associativité - Commutativité

2-2/ L'élément neutre

2-3/ Symétrique d'un élément

2-4/ Élément régulier d'une loi de composition interne

III- Morphismes

3-1/ Définition d'un morphisme

3-2/ Propriétés d'un morphisme

I- Loi de composition interne

1-1/ Introduction

I- Loi de composition interne

1-1/ Introduction

I- Loi de composition interne

1-1/ Introduction

I- Loi de composition interne

1-1/ Introduction

I- Loi de composition interne

1-1/ Introduction

I- Loi de composition interne

1-1/ Introduction

I- Loi de composition interne

1-1/ Introduction

I- Loi de composition interne

1-2/ Définition d'une loi de composition interne

Définition 1

On appelle loi de composition interne sur un ensemble $E$, toute application de $E\times E$ dans $E$.

Traditionnellement, on utilise la notation $x*y$ pour désigner l’image d'un couple $(x;y)\in E\times E$ par une loi $*$ plutôt qu’une notation fonctionnelle.

On note $\left(E;*\right)$ un ensemble $E$ muni d'une loi de composition interne $« * »$.

I- Loi de composition interne

1-2/ Définition d'une loi de composition interne

Applications

Pour tous $x$ et $y$ de $\mathrm{ℝ}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$, on pose : $x*y=x+y-2xy$.

1. Montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $\mathrm{ℝ}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$.

Sur l’intervalle $I=]-1;1[$, on définit la relation $\perp$ par : $\left(\forall \left(x;y\right)\in I^2\right) x\perp y=\frac{x+y}{1+xy}$

2. La relation $\perp$ est-elle une loi de composition interne sur $I$ ? Justifier.

On considère l’ensemble $E=\left\{f_1,f_2,f_3,f_4\right\}$ où les fonctions $f_i\left(i\in \left\{1;2;3;4\right\}\right)$ des fonctions numériques définies de $\mathrm{ℝ}*$ vers $\mathrm{ℝ}*$ par :

$f_1:x\mapsto x ; f_2:x\mapsto -x ; f_3:x\mapsto \frac{1}{x} ; f_4:x\mapsto -\frac{1}{x}$

3. Dresser la table de $\left(E;\circ \right)$.

4.  Montrer que $\circ$ (composition des fonctions) est une loi de composition interne sur $E$.

I- Loi de composition interne

1-3/ Partie stable - Loi induite

Définition 2

Soit $(E;*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne et $F$ une partie de $E$.

On dit que $F$ est stable par $*$ si : $\left(\forall \left(x;y\right)\in F^2\right) x*y\in F$

La loi de composition interne alors définie sur $F$ par $$\begin{gathered} F^2\to F \\ (x;y)\mapsto x*y \end{gathered}$$ est appelée loi induite par $*$ sur $F$.

I- Loi de composition interne

1-3/ Partie stable - Loi induite

Applications

On considère l’ensemble $S=\left\{x^2+y^2/\left(x;y\right)\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^2\right\}$

1. Montrer que $S$ est une partie stable de $\left(\mathrm{\mathbb{N}};\times \right)$.

2. L’ensemble $S$ est-il stable pour l’addition dans $\mathrm{\mathbb{N}}$ ? Justifier.

On considère les ensembles $A=\left\{3^n\times 2^m/\left(n;m\right)\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^2\right\}$ et $B=\left\{n^2/n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right\}$

3. Étudier la stabilité de $A$ pour l'addition et la multiplication dans $\mathrm{\mathbb{N}}$.

4. Étudier la stabilité de $B$ pour l'addition et la multiplication dans $\mathrm{\mathbb{N}}$.

On considère l’ensemble $G=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& 1& 0\\ b& c& 1\end{array}\right)/\left(a;b;c\right)\in {\mathrm{ℝ}}^3\right\}$

5. Montrer que $G$ est une partie stable de $\left({\mathbb{M}}_3\left(\mathrm{ℝ}\right);\times \right)$

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-1/ Associativité - Commutativité

Définition 3

Soit $\left(E;*\right)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne.

On dit que la loi $*$ est associative dans $\left(E;*\right)$ si :

$\left(\forall \left(a;b;c\right)\in E^3\right) \left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)$

On dit que la loi $*$ est commutative dans $\left(E;*\right)$ si :

$\left(\forall \left(a;b\right)\in E^2\right) a*b=b*a$

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-1/ Associativité - Commutativité

Remarques

La loi $*$ n'est pas commutative dans $\left(E;*\right)$ signifie que :

$\left(\exists \left(a;b\right)\in E^2\right) a*b\ne b*a$

La loi $*$ n’est pas associative dans $\left(E;*\right)$ signifie que :

$\left(\exists \left(a;b;c\right)\in E^3\right) \left(a*b\right)*c\ne a*\left(b*c\right)$

Si la loi $*$ est associative dans $\left(E;*\right)$, alors on peut supprimer les parenthèses et écrire :

$\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c$

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-1/ Associativité - Commutativité

Applications

Étudier la commutativité et l’associativité de la loi de composition interne $T$ définie sur $E=\mathrm{\mathbb{Z}}\times \mathrm{\mathbb{Z}}$ par :

$\left(a;b\right)T\left(x;y\right)=\left(ax;ay+bx\right)$

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-2/ L'élément neutre

Définition 5

Soit $\left(E;*\right)$ un ensemble muni d’une loi de composition interne.

Un élément $e$ de $\left(E;*\right)$ est dit neutre si : $\left(\forall x\in E\right) e*x=x*e=x$

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-2/ L'élément neutre

Remarques

- Si la loi $*$ est commutative dans $\left(E;*\right)$, alors une des relations de la définition 5 suffit.

On peut prendre alors soit $\left(\forall x\in E\right) e*x=x$, ou bien $\left(\forall x\in E\right) x*e=x$.

- Si $S$ est une partie stable de $\left(E;*\right)$, et si $e$ est neutre dans $\left(E;*\right)$, alors cela n'implique pas que $e$ est neutre dans $\left(S;*\right)$.

À titre d'exemple : Prenons $E=\mathrm{\mathbb{Z}}/6\mathrm{\mathbb{Z}}$ et $S=\left\{\overline{0};\overline{2};\overline{4}\right\}$

$\overline{1}$ est neutre dans $E$ et $\overline{4}$ est neutre dans $S$.

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-2/ L'élément neutre

Applications

On munit l’ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}$ d’une loi de composition interne $*$ définie par :

$\left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^2\right) x*y=x+y-3$

1. Montrer que $\left(\mathrm{\mathbb{Z}};*\right)$ admet un élément neutre.

On considère l’ensemble : $A=\left\{\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ 0& \alpha \end{array}\right)/\left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

2. Montrer que $\times$ est une loi de composition interne sur $A$.
3. Est-ce-que $\left(A;\times \right)$ admet un élément neutre ? Justifier.

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-2/ L'élément neutre

Proposition 1

Soit $\left(E;*\right)$ un ensemble muni d’une loi de composition interne.

Si $e$ et $e\text{'}$ sont deux éléments neutres pour la loi $*$ dans $E$, alors $e=e\text{'}$.

Autrement dit : un élément neutre pour une loi de composition interne, lorsqu’il existe, est unique.

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-3/ Symétrique d'un élément

Définition 6

Soit $\left(E;*\right)$ un ensemble muni d’une loi de composition interne et possédant un élément neutre $e$.

Un élément $a\in E$ est dit symétrisable (ou inversible) pour $*$ s’il existe un élément $a\text{'}\in E$ tel que $a*a\text{'}=a\text{'}*a=e$

Un tel élément $a\text{'}$ (s’il existe) est appelé un symétrique (ou inverse) de $a$ pour $*$.

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-3/ Symétrique d'un élément

Remarques

Si $a\text{'}$ est un symétrique de $a$ pour la loi $*$, alors $a$ est un symétrique de $a\text{'}$ pour la même loi.

Si la loi $*$ est commutative, alors on peut se contenter de l'une des relations $a*a\text{'}=e$ ou $a\text{'}*a=e$.

Si $a\text{'}$ est un symétrique de $a$ pour la loi $*$, on dit alors que $a$ et $a\text{'}$ sont symétriques dans $\left(E;*\right)$.

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-3/ Symétrique d'un élément

Proposition 2

Soit $\left(E;*\right)$ un ensemble muni d’une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre $e$.

Si un élément $a\in E$ est symétrisable, alors, le symétrique de $a$ est unique.

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-3/ Symétrique d'un élément

Remarques

Le symétrique d’un élément $a$ se note :

• $a^{-1}$ pour une loi notée multiplicativement et s’appelle inverse de $a$.
• $-a$ pour une loi notée additivement et s’appelle opposé de $a$.

Lorsque $f$ est une bijection de $E$ dans $E$, il n’y a donc pas ambiguïté dans la notation $f^{-1}$, il s’agit aussi bien de son application réciproque que de son inverse pour la loi $\circ$.

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-3/ Symétrique d'un élément

Proposition 3

Soit $\left(E;*\right)$ un ensemble muni d’une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre $e$.

Si $a$ et $b$ sont deux éléments symétrisables, alors $a*b$ est aussi symétrisable et son symétrique est $\left(a*b\right)\text{'}=b\text{'}*a\text{'}$, où $a\text{'}$ et $b\text{'}$ sont respectivement les symétriques de $a$ et $b$.

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-3/ Symétrique d'un élément

Applications

On munit $\mathrm{ℝ}$ d'une loi de composition interne définie comme suit :

$\left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) x*y=x+y+\frac{1}{2}xy$

1. Montrer que la loi $*$ est associative.

2. Montrer que $*$ admet un élément neutre que l’on déterminera.

3. Déterminer les éléments symétrisables pour la loi $*$.

4. Montrer que le symétrique de $-1$ est $2$, et que le symétrique de $6$ est $-3$.

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-4/ Élément régulier d'une loi de composition interne

Définition 7

Soit $\left(E;*\right)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Un élément $a\in E$ est dit régulier ou simplifiable si, et seulement si :

$\left(\forall \left(x;y\right)\in E^2\right) \left\{\begin{array}{l}a*x=a*y\Rightarrow x=y \overline{)1}\\ x*a=y*a\Rightarrow x=y \overline{)2}\end{array}\right.$

Remarque

Si la loi $*$ est commutative dans E, alors l’une des implications $\overline{)1}$ ou $\overline{)2}$ suffit pour que l’élément a soit régulier dans $\left(E;*\right)$..

II- Propriétés d'une loi de composition interne

2-4/ Élément régulier d'une loi de composition interne

Applications

On considère l’ensemble $\mathrm{\mathbb{N}}*$ muni de la loi de composition interne définie par $a\wedge b=c$, où $c$ est le plus grand commun diviseur des entiers $a$ et $b$.

Est-ce-que tout élément de $\mathrm{\mathbb{N}}*$ est régulier dans $\left(\mathrm{\mathbb{N}}*;\wedge \right)$ ? Justifier.

III- Morphismes

3-1/ Définition d'un morphisme

Définition 8

Soit $\left(E;*\right)$ et $\left(F;T\right)$ deux ensembles munis de lois de composition interne, et soit $f$ une application de $E$ dans $F$.

On dit que $f$ est un morphisme de $\left(E;*\right)$ dans $\left(F;T\right)$ lorsque :

$\left(\forall \left(x;y\right)\in E^2\right) f\left(x*y\right)=f\left(x\right)Tf\left(y\right)$

III- Morphismes

3-1/ Définition d'un morphisme

Définition 9

Un morphisme s'appelle aussi un homomorphisme.

Un endomorphisme de $\left(E;*\right)$ est un morphisme de $\left(E;*\right)$ dans lui-même.

Un isomorphisme est un morphisme bijectif.

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

III- Morphismes

3-1/ Définition d'un morphisme

Applications

Soit $f_a$ l'application définie de ${\mathrm{ℝ}}^2$ dans ${\mathrm{ℝ}}^2$ par $\left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) f_a\left(x;y\right)=\left(ax;\frac{y}{a}\right)$ (où $a\in \mathrm{ℝ}*$)

1. Montrer que $f_a$ est une application bijective.

Soit $\mathcal{F}$ l’ensemble des applications $f_a$ quand $a$ varie sur $\mathrm{ℝ}*$.

2. Déterminer l’application $f_{a\text{'}}\circ f_a$ où $\left(a;a\text{'}\right)\in {\left(\mathrm{ℝ}*\right)}^2$.

3. En déduire que la composition des applications $\circ$ est une loi de composition interne sur $\mathcal{F}$.

On considère l’application : $$\begin{gathered} h:\mathrm{ℝ}*\to \mathcal{F} \\ a\mapsto f_a \end{gathered}$$

4. Montrer que $h$ est un morphisme de $\left(\mathrm{ℝ}*;\times \right)$ dans $\left(\mathcal{F};\circ \right)$.

III- Morphismes

3-2/ Propriétés d'un morphisme

Proposition 4

Soit $f$ un morphisme de $\left(E;*\right)$ dans $\left(F;T\right)$.

1- $f\left(E\right)$ est une partie stable de $\left(F;T\right)$.

2- Si la loi $*$ est associative dans $\left(E;*\right)$, alors la loi $T$ est associative dans $\left(f\left(E\right);T\right)$.

3- Si la loi $*$ est commutative dans $\left(E;*\right)$, alors la loi $T$ est commutative dans $\left(f\left(E\right);T\right)$.

4- Si la loi $*$ admet un élément neutre $e$ dans $\left(E;*\right)$, alors $f\left(e\right)$ est un élément neutre dans $\left(f\left(E\right);T\right)$.

5- Si la loi $*$ admet un élément neutre $e$ dans $\left(E;*\right)$, et un élément $x$ admet un symétrique $x\text{'}$ dans $\left(E;*\right)$, alors $f\left(x\right)$ admet un symétrique dans $\left(f\left(E\right);T\right)$ qui est $f\left(x\text{'}\right)$.

III- Morphismes

3-2/ Propriétés d'un morphisme

Corollaire

Si $f$ est un isomorphisme de $\left(E;*\right)$ dans $\left(F;T\right)$ (c’est-à-dire morphisme bijectif), alors $f$ transfère les propriétés de la loi $*$ dans $\left(E;*\right)$ vers la loi $T$ de $\left(F;T\right)$, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi.

On exprime ce résultat en disant que $\left(E;*\right)$ et $\left(F;T\right)$ ont la même structure.