Séance 12 - Transformations du plan

Sommaire

I- Transformations dans le plan

II- Symétrie axiale

III- Symétrie centrale

IV- Translation

V- Homothétie

VI- Propriétés caractéristiques de $t_{\overrightarrow{u}}$, $S_{\Omega }$ et $h\left(\Omega ,k\right)$

6-1/ Propriétés

6-2/ Les images de certaines figures géométriques par les transformations

6-3/ Tableau récapitulatif

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

I- Transformations dans le plan

Définition

Toute relation qui associe à tout point $M$ du plan $\left(P\right)$ au point $M\text{'}$ de $\left(P\right)$ tel que $M\text{'}$ vérifie une ou plusieurs conditions, on l’appelle transformation du plan $\left(P\right)$, on la note $t$ ou $h$ ou $r$ ou $S_{\left(D\right)}$ ....

On écrit $$\begin{gathered} t : \left(P\right)\to \left(P\right) \\ M\mapsto t\left(M\right)=M\text{'} \end{gathered}$$

On dit que le point $M$ a pour image $M\text{'}$ par la transformation $t$, ou encore le point $M\text{'}$ est l’image du point $M$.

Exemple

Soient $A$ et $B$ deux points du plan $\left(P\right)$.

Soit la transformation $f$ du plan $\left(P\right)$ définie par $f\left(M\right)=M\text{'}$ tel que $\overrightarrow{MM\text{'}}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$

II- Symétrie axiale

Définition

La symétrie axiale $S_D$ de droite $\left(D\right)$ du plan $\left(P\right)$ est la transformation qui transforme tout point $M$ de $\left(P\right)$ au point $M\text{'}$ tel que la droite $\left(D\right)$ soit la médiatrice du segment $\left[MM\text{'}\right]$.

On écrit $S_D\left(M\right)=M\text{'}$

Exemple

III- Symétrie centrale

Définition

La symétrie centrale $S_I$ de centre le point $I$ du plan $\left(P\right)$ est la transformation qui transforme tout point $M$ de $\left(P\right)$ au point $M\text{'}$ tel que le point $I$ soit le milieu du segment $\left[MM\text{'}\right]$.

On écrit $S_I\left(M\right)=M\text{'}$

Exemple

Remarques

$S_I\left(M\right)=M\text{'}$  équivaut à $\overrightarrow{IM\text{'}}=-\overrightarrow{IM}$

$S_I\left(M\right)=M\text{'}$ équivaut à $S_I\left(M\text{'}\right)=M$

$I$ est le seul point invariant par la symétrie centrale $S_I$, d’où $S_I\left(I\right)=I$.

IV- Translation

Définition

La translation du vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan $\left(P\right)$ est la transformation qui transforme tout point $M$ de $\left(P\right)$ au point $M\text{'}$ tel que le point $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{u}$.

On note la translation par $t_{\overrightarrow{u}}$

On écrit : $t_{\overrightarrow{u}}\left(M\right)=M\text{'}$

Exemple

Remarques

$t_{\overrightarrow{u}}\left(M\right)=M\text{'}$  équivaut à le quadrilatère $ABM\text{'}M$ est parallélogramme (avec $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$)

$t_{\overrightarrow{u}}\left(M\right)=M\text{'}$ équivaut à $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{u}$

$t_{\overrightarrow{u}}\left(M\right)=M\text{'}$ équivaut à $t_{-\overrightarrow{u}}\left(M\text{'}\right)=M$

Si $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ aucun point de $\left(P\right)$ est invariant.

Tous les points du plan sont invariant par la translation de vecteur nul $\left(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\right)$

V- Homothétie

Définition

L’homothétie de centre un point $\Omega$ donné du plan $\left(P\right)$ et de rapport $k$ est la transformation qui transforme tout point $M$ de $\left(P\right)$ au point $M\text{'}$ tel que $\overrightarrow{\Omega M\text{'}}=k\overrightarrow{\Omega M}$.

On note l’homothétie par $h\left(\Omega ,k\right)$

On écrit : $h\left(M\right)=M\text{'}$

Exemple

Remarques

Si $h\left(M\right)=M\text{'}$, ona $M$ et $M\text{'}$ et $\Omega$ sont alignés.

Si $k=0$, on a $h\left(M\right)=\Omega$ (tous les points ont pour image $\Omega$ - l’homothétie n’est pas intéressante).

Si $k=1$, on a $h\left(M\right)=M$ (tous les points sont invariants - l’homothétie n’est pas intéressante).

Pour cela on prend $k\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{0,1\right\}$

Si $k=-1$, on a $h\left(M\right)=M\text{'}$' avec $\Omega$ est le milieu de $\left[MM\text{'}\right]$, l’homothétie $h$ est la symétrie centrale $S_{\Omega }$, ou encore $h\left(\Omega ,-1\right)=S_{\Omega }$.

Si $k>0$, on a $h\left(M\right)=M\text{'}$' avec $M\text{'}\in \left[\Omega M\right)$.

Si $k<0$, on a $h\left(M\right)=M\text{'}$' avec $M\text{'}$ appartienne à la demi droite opposée à $\left[\Omega M\right)$.

VI- Propriétés caractéristiques de $t_{\overrightarrow{u}}$,  $h\left(\Omega ,k\right)$

6-1/ Propriétés

Soit $f$ une transformation dans le plan $\left(P\right)$ tel que pour tous points $A$ et $B$ de $\left(P\right)$ on a $f\left(A\right)=A\text{'}$ et $f\left(B\right)=B\text{'}$.

- La transformation $f$ est une translation si et seulement si $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\overrightarrow{AB}$.

- La transformation $f$ est une homothétie si et seulement si $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=k\overrightarrow{AB}$ et $k\in \mathrm{ℝ}\backslash \left\{0,1\right\}$

VI- Propriétés caractéristiques de $t_{\overrightarrow{u}}$, $S_{\Omega }$ et $h\left(\Omega ,k\right)$

6-2/ Les images de certaines figures géométriques par les transformations

Soient $A$ et $B$ deux points du plan $\left(P\right)$ et $A\text{'}$ et $B\text{'}$ leurs images par l’une des transformations suivantes : symétrie axiale $S_D$ ou symétrie centrale $S_{\Omega }$ ou translation $t_{\overrightarrow{u}}$ ou homothétie $h\left(\Omega ,k\right)$.

1- L’mage de la droite $\left(AB\right)$ par les transformations précédentes est la droite $\left(A\text{'}B\text{'}\right)$, et $\left(AB\right)//\left(A\text{'}B\text{'}\right)$.

2- L’mage du segment $\left[AB\right]$ par les transformations précédentes est le segment $\left[A\text{'}B\text{'}\right]$, et $A\text{'}B\text{'}=AB$, sauf l’homothétie $\left(A\text{'}B\text{'}=k.AB\right)$.

3- L’mage du vecteur $\alpha \overrightarrow{AB}$ par les transformations précédentes est le vecteur $\alpha \overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}$, sauf l’homothétie $\left(k\alpha \overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}\right)$.

4- L’mage du cercle $\mathcal{C}\left(A,r\right)$ par les transformations précédentes est le cercle $\mathcal{C}\text{'}\left(A\text{'},r\right)$, sauf l’homothétie (le cercle $\mathcal{C}"\left(A\text{'},\left|k\right|\times r\right)$).

5- L’mage de l’angle géométrique $AOB$ par les transformations précédentes est l’angle géométrique $A\text{'}O\text{'}B\text{'}$ de mêmes mesure .

6- Les transformations précédentes conservent les distance ( sauf l’homothétie ), et le milieu, et les mesures des angles géométriques, et le coefficient de colinéarité, et le parallélisme, et l’orthogonalité, et l’intersection des figures.

VI- Propriétés caractéristiques de $t_{\overrightarrow{u}}$, $S_{\Omega }$ et $h\left(\Omega ,k\right)$

6-3/ Tableau récapitulatif

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan.

$ABCD$ est un quadrilatère du plan tel que $B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ et $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $2\overrightarrow{u}$.

1. Montrer que : $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$.

Soit $I$ le milieu du segment $\left[CD\right]$.

2. Monter que $ABIC$ est un parallélogramme.

$ABC$ est un triangle.

Pour tout point $M$ du plan on considère le $M\text{'}$ tel que $\overrightarrow{MM\text{'}}-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

3. Montrer que $M\text{'}$ est l’image de $M$ par une translation de vecteur à préciser.

VII- Exercices

7-2/ Exercice 2

1. Exprimer vectoriellement la proposition suivante : $B$ est l’image de $C$ par l’homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $k=-\frac{3}{2}$.

2. Exprimer la relation vectorielle $\overrightarrow{JK}=\frac{5}{4}\overrightarrow{JL}$ par une homothétie.

3. Déterminer le centre et le rapport de l’homothétie $h\text{'}$ qui transforme $A$ en $B$ dans les cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} 2\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0} \\ \overline{)2} \overrightarrow{MB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA} \end{gathered}$$

Soient $A$ et $B$ deux points du plan $\left(P\right)$.

Soit $T$ la transformation plane qui à tout point $M$ associe le point $M\text{'}$ tel que $\overrightarrow{MM\text{'}}=3\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}$.

4. Montrer que $T$ a un unique point invariant $I \left(T\left(I\right)=I\right)$.

5. Exprimer $\overrightarrow{IM\text{'}}$ en fonction de $\overrightarrow{IM}$.

6. En déduire la nature de la transformation $T$.

VII- Exercices

7-3/ Exercice 3

$OABC$ est un rectangle.

On considère $t$ la translation de vecteur $2\overrightarrow{OA}$.

Soient $O\text{'}$, $A\text{'}$, $B\text{'}$ et $C\text{'}$ les images respectives de $O$, $A$, $B$ et $C$ par $t$.

1. Montrer que $O\text{'}A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ est un rectangle.

On considère les points $M$ et $N$ du plan définis par $\overrightarrow{OM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{O\text{'}N}=\frac{2}{5}\overrightarrow{O\text{'}A\text{'}}$

2. Montrer que $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{C\text{'}N}$.

VII- Exercices

7-4/ Exercice 4

$ABCD$ est un parallélogramme et $I$ et $J$ sont deux points du plan tels que $\overrightarrow{CI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{DC}$.

1. Construire une figure convenable.

2. Montrer que la droite $\left(BJ\right)$ est l’image de la droite $\left(AI\right)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Soit $h$ l’homothétie de centre $I$ et qui transforme $B$ en $C$. 

3. Montrer que le rapport de $h$ est $k=-2$.

Soit $K$ l’image de $J$ par $h$.

4. Montrer que $\overrightarrow{KI}=2\overrightarrow{AB}$