Séance 9-3 : Arithmétique dans Z - Problème de synthèse

Sommaire

VII- Problème de synthèse

7-1/ Partie 1

7-2/ Partie 2

VII- Problème de synthèse

7-1/ Partie 1

On considère dans ${\mathrm{\mathbb{N}}}^3$ l'équation : $\left(E\right) : x^2+y^2=z^2$

1. Vérifier que $(0;0;0)$, $(3;4;5)$ et $(5;12;13)$ sont solutions de l'équation $\left(E\right)$.

Soit $\left(u;v\right)\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^2$ tel que $u<v$

2. Montrer que $\left(u^2-v^2;2uv;u^2+v^2\right)$ est une solution de l'équation $\left(E\right)$.

3. Montrer que si $(x;y;z)$ est solution de $\left(E\right)$ alors $(nx;ny;nz)$ est aussi solution de $\left(E\right)$ où $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

VII- Problème de synthèse

7-2/ Partie 2

Dans cette partie, on veut résoudre l'équation $\left(E\right)$ dans l'ensemble ${\left(\mathrm{\mathbb{N}}*\right)}^3$.

Soit $(x;y;z)$ une solution de l'équation $\left(E\right)$.

On pose : $x\wedge y\wedge z=d$

1. Montrer qu'on peut restreindre l'étude à $d=1$.

Dans tout ce qui suit, $(x;y;z)$ est une solution de $\left(E\right)$ telle que : $x\wedge y\wedge z=1$

2. Montrer que : $x\wedge y=y\wedge z=z\wedge x=1$

3. Montrer que $x$ et $y$ ont des parités distinctes et que le nombre $z$ est impair.

On suppose dans ce qui suit que $z$ et $x$ sont impairs, $y$ est pair et on pose : $\delta =\left(z-x\right)\wedge \left(z+x\right)$

4. Montrer que si $c^2=ab$ et $a\wedge b=1$, alors :

$\left(\exists \left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^2\right) \left[a={\alpha }^2 et b={\beta }^2 et \alpha \wedge \beta =1\right]$

5. a- Montrer que : $\delta =2$

5. b- En déduire qu'il existe $\left(u;v\right)\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^2$ tel que : $\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}z+x=2u^2\\ z-x=2v^2\\ u\wedge v=1\end{array}\end{array}\right.$ puis que $y=2uv$

5. c- En déduire que : $(x;y;z)=\left(u^2-v^2;2uv;u^2+v^2\right)$

6. Donner les solutions de l'équation $\left(E\right)$.