Séance 9-1-2 : Arithmétique dans Z - Partie 1 (Exercices)

Sommaire

III- Exercices I

3-1/ Exercice 1-1

3-2/ Exercice 1-2

3-3/ Exercice 1-3

3-4/ Exercice 1-4

III- Exercices I

3-1/ Exercice 1-1

Les questions suivantes sont indépendantes.

Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$.

1. Montrer que : $p\equiv 1 \left[4\right]$ ou $p\equiv 3 \left[4\right]$

Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $5$.

2. Montrer que : $p^2+11\equiv 0 \left[12\right]$
3. Montrer que la somme de trois entiers naturels impairs consécutifs n’est pas un nombre premier.
4. Soit $a\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Le nombre $a^4+a^2+1$ est-il premier ?
5. Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers naturels non nuls. Montrer que si $ab=cd$ alors $a^2+b^2+c^2+d^2$ n'est pas premier.
6. Soit $\left(x;y\right)\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^2$ tel que $x>1$ et $y>1$. Montrer que $N=a^4+4b^4$ n’est pas premier.
7. Déterminer les valeurs de l’entier naturel n pour lesquelles $n^4+4$ est premier.
8. Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$. Résoudre dans ${\mathrm{\mathbb{N}}}^2$ l'équation : $x^2-y^2=p$

III- Exercices I

3-2/ Exercice 1-2

Les questions 1) et 2) sont indépendantes.

On pose : $a=257$ et $b=45$

1. a- En utilisant l’algorithme d’Euclide, calculer $a\wedge b$.

1. b- En déduire qu’il existe un couple $\left(\alpha ;\beta \right)\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^2$ tel que $\alpha a+\beta b=a\wedge b$ ($\alpha$ et $\beta$ à déterminer).
2. En utilisant l’algorithme d’Euclide, calculer $137\wedge 726$, puis déterminer $\left(x_0;y_0\right)\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^2$ tel que :

$726x_0+137y_0=1$

III- Exercices I

3-3/ Exercice 1-3

1. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ :

$\left(n^2+4n+1\right)\wedge \left(n+4\right)=1$

2. Développer ${\left(n^2+1\right)}^2$ et ${\left(n^2+1\right)}^3$.

3. En déduire, à l'aide de théorème de Bezout, que :

$\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\left(n^4+2n^2+1\right)\wedge \left(n^4+3n^2+3\right)=1$

III- Exercices I

3-4/ Exercice 1-4

1. Déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que $n\le 3*{10}^3$ et :

$n\equiv 5 \left[139\right]$ et $n\equiv 5 \left[140\right]$