Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM
Séance 8 (Les limites d’une fonction numérique)
Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak
Sommaire
I- Limite infinie d’une fonction en +∞ ou en -∞
II- Limite finie d’une fonction en +∞ et en -∞
III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point
3-1/ Limite finie d’une fonction en un point
3-2/ Limite infinie d’une fonction en un point
IV- Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un point
V- Opérations sur les limites
5-1/ Limite d’une somme
5-2/ Limite d’un produit
5-3/ Limite de l’inverse
5-4/ Limite d’un quotient
VI- Limites de fonctions particulières
6-1/ Limite d’une fonction polynôme - Limite d’une fonction rationnelle
6-2/ Limites des fonctions irrationnelles
6-3/ Limites des fonctions trigonométriques
VII- Théorème de comparaison
IIX- Exercices
8-1/ Exercice 1
8-2/ Exercice 2
8-3/ Exercice 3
8-4/ Exercice 4
8-5/ Exercice 5
8-6/ Exercice 6
I- Limite infinie d’une fonction en +∞ ou en -∞
Activité
Considérons la fonction f définie par : f(x)=x2
- Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé (O;→i;→j)
- Compléter le tableau suivant :
x | -1020 | -1010 | -10 | 10 | 1010 | 1020 |
f(x) |
- Que remarquer pour les valeurs de f(x) quand x prend des valeurs positives de plus en plus grands (c-à-d quand x tend vers +∞).
- Que remarquer pour les valeurs de f(x) quand x prend des valeurs négatives de plus en plus (c-à-d quand x tend vers -∞).
- Conjecturer les limites suivantes : limx→+∞x3 et limx→-∞x3
I- Limite infinie d’une fonction en +∞ ou en -∞
Remarque
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme : [a,+∞[ (a∈ℝ)
Si f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞, on écrit : limx→+∞f(x)=+∞ ou lim+∞f(x)=+∞
On peut exprimer aussi par des phrases les symboles suivantes :
- limx→+∞f(x)=-∞
- {limx→-∞f(x)=+∞limx→-∞f(x)=-∞ (Il faut que ]-∞,a]∈Df).
I- Limite infinie d’une fonction en +∞ ou en -∞
Limites usuelles
On admet les limites suivantes :
limx→+∞x=+∞limx→-∞x=-∞limx→+∞x2=+∞limx→-∞x2=+∞ | limx→-∞x3=-∞limx→+∞√x=+∞limx→+∞xn=+∞ (n∈ℕ*)limx→-∞xn={+∞ si n est paire-∞ si n est impaire |
II- Limite finie d’une fonction en +∞ ou en -∞
Activité
Considérons la fonction f définie par : f(x)=1x2
- Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé (O;→i;→j)
- Compléter le tableau suivant :
x | -106 | -104 | -10 | 10 | 104 | 106 |
f(x) |
- Que remarquer pour les valeurs de f(x) quand x prend des valeurs positives de plus en plus grands (c-à-d quand x tend vers +∞).
- Que remarquer pour les valeurs de f(x) quand x prend des valeurs négatives de plus en plus (c-à-d quand x tend vers -∞).
- Conjecturer les limites suivantes : limx→+∞1x3 et limx→-∞1x3
II- Limite finie d’une fonction en +∞ ou en -∞
Remarque
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme : [a,+∞[ (a∈ℝ), et soit l∈ℝ
Si f(x) tend vers le nombre l quand x tend vers +∞, on écrit : limx→+∞f(x)=l ou lim+∞f(x)=l
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme : [-∞,b[ (b∈ℝ), et soit l'∈ℝ
Si f(x) tend vers le nombre l' quand x tend vers -∞, on écrit : limx→-∞f(x)=l' ou lim-∞f(x)=l'
II- Limite finie d’une fonction en +∞ ou en -∞
Interprétation géométrique
La courbe (Cf) se rapproche de la droite d’équation y=l au voisinage de ∞.
II- Limite finie d’une fonction en +∞ ou en -∞
Propriété 1
limx→+∞1x=0 et limx→-∞1x=0
En général : (∀n∈ℕ*) : limx→+∞1xn=0 et limx→-∞1xn=0
On a aussi : limx→+∞1√x=0
II- Limite finie d’une fonction en +∞ ou en -∞
Propriété 2
Soit f une fonction numérique et l∈ℝ.
- Si f admet en +∞ (ou en -∞) une limite, alors cette limite est unique.
- limx→+∞f(x)=l⇔limx→+∞f(x)-l=0
- limx→-∞f(x)=l⇔limx→-∞f(x)-l=0
III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point
3-1/ Limite finie d’une fonction en un point
Définition
Soit a∈ℝ et l∈ℝ et soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme I=]a-r;a+r[ où r>0, ou sur un intervalle de la forme I=]a-r;a+r[-{a}.
Si f(x) tend vers l quand x tend vers a alors on note : limx→af(x)=l
Soit f une fonction numérique et l∈ℝ.
- Si f admet en +∞ (ou en -∞) une limite, alors cette limite est unique.
- limx→+∞f(x)=l⇔limx→+∞f(x)-l=0
- limx→-∞f(x)=l⇔limx→-∞f(x)-l=0
III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point
3-1/ Limite finie d’une fonction en un point
Propriété
Si f admet une limite finie l en a alors cette limite est unique.
III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point
3-2/ Limite infinie d’une fonction en un point
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme I=]a-r;a+r[-{a}.
Si f(x) tend vers +∞ quand x tend vers a alors on note : limx→af(x)=+∞
On définie de la même façon : limx→af(x)=-∞
III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point
3-2/ Limite infinie d’une fonction en un point
Exercice
- Calculer les limites suivantes :
limx→12x2-3limx→22x2-3limx→3x2+14x-2limx→1x2-1x-1limx→2x2-4x-2
III- Limite IV- Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un pointet limite infinie d’une fonction en un point
Activité
Soit f la fonction définie par : f(x)=|x-1|(x+2)x-1
- Déterminer Df.
- Construire la courbe (Cf) de la fonction f.
- À partir de la représentation graphique, que-remarque-t-on pour les valeurs de f(x) quand x tend vers 1 et x>1
- Que-remarque-t-on pour les valeurs de f(x) quand x tend vers 1 et x<1
III- Limite IV- Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un pointet limite infinie d’une fonction en un point
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle de centre a, on a :
limx→af(x)=l⇔limx→a+f(x)=limx→a-f(x)=llimx→af(x)=+∞⇔limx→a+f(x)=limx→a-f(x)=+∞limx→af(x)=-∞⇔limx→a+f(x)=limx→a-f(x)=-∞
V- Opérations sur les limites
5-1/ Limite d’une somme
V- Opérations sur les limites
5-2/ Limite d’un produit
V- Opérations sur les limites
5-3/ Limite de l’inverse
V- Opérations sur les limites
5-4/ Limite d’un quotient
VI- Limites de fonctions particulières
6-1/ Limite d’une fonction polynôme - Limite d’une fonction rationnelle
Propriété
Soient P et Q deux fonctions polynômes et a∈ℝ, alors on a :
- limx→aP(x)=P(a)
- Si Q(a)≠0, alors : limx→aP(x)Q(x)=P(a)Q(a)
- Si axn et bxm sont des termes de plus haut degré de P et Q respectivement (a,b∈ℝ et m,n∈ℕ*), alors :
limx→+∞P(x)=limx→+∞axn et limx→+∞P(x)Q(x)=limx→+∞axnbxm
VI- Limites de fonctions particulières
6-2/ Limites des fonctions irrationnelles
Propriété
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme [a,+∞[, avec (∀x∈[a,+∞[) f(x)≥0
- Si limx→+∞f(x)=l et l≥0, alors : limx→+∞√f(x)=√l
- Si limx→+∞f(x)=+∞, alors : limx→+∞√f(x)=+∞
VI- Limites de fonctions particulières
6-3/ Limites des fonctions trigonométriques
Propriété
limx→0sinxx=1 ; limx→0tanxx=1 ; limx→01-cosxx2=12(∀a∈ℝ) limx→acos(x)=cos(a) et limx→asin(x)=sin(a)(∀a∈ℝ-{π2+kπ/k∈ℤ}) limx→atan(x)=tan(a)(∀a∈ℝ*) limx→0sin(ax)x=a et limx→0tan(ax)x=a
VII- Théorème de comparaison
Théorème
Soit I un intervalle de la forme [a,+∞[ et l∈ℝ et soient f, u et v des fonctions définies sur I :
1 {(∀x∈I) f(x)≥u(x)limx→+∞u(x)=+∞⇒limx→+∞f(x)=+∞2 {(∀x∈I) f(x)≤u(x)limx→+∞u(x)=-∞⇒limx→+∞f(x)=-∞3 {(∀x∈I) u(x)≤f(x)≤v(x)limx→+∞u(x)=limx→+∞v(x)=l⇒limx→+∞f(x)=l4 {(∀x∈I) |f(x)-l|≤u(x)limx→+∞u(x)=0⇒limx→+∞f(x)=l
IIX- Exercices
8-1/ Exercice 1
- Déterminer les limites suivantes :
1 limx→-∞x4=2 limx→+∞x4=3 limx→-∞x5=4 limx→+∞x5=5 limx→-∞x200=6 limx→+∞x200=7 limx→-∞x201= | 8 limx→+∞x201=9 limx→-∞1x3=10 limx→+∞1x3=11 limx→-∞1x4=12 limx→+∞1x4=13 limx→+∞√x=14 limx→+∞1√x= |
IIX- Exercices
8-2/ Exercice 2
Soit f la fonction définie par : f(x)=2x−1x-1
- Déterminer Df.
- Calculer les limites de f aux bornes de Df.
Soit g la fonction définie par : {g(x)=1√x ; x>0g(x)=x2 ; x≤0
- Déterminer limx→0+g(x) et limx→0-g(x)
- Est que la fonction g admet une limite en 0 ?
IIX- Exercices
8-3/ Exercice 3
- Calculer les limites suivantes :
1 limx→+∞-3x√x+1=2 limx→+∞√4x+1-2√x-1=3 limx→+∞√x2-x+1-x=4 limx→-∞√x2+1+x= | 5 limx→-∞√1-x+√1-2x=6 limx→-∞1x3√4x2+1=7 limx→+∞√x2+x-2x=8 limx→-∞√x2+x-x= |
IIX- Exercices
8-4/ Exercice 4
- Calculer les limites suivantes :
1 limx→0=sin(5x)x=2 limx→0=tan(x)3x=3 limx→0=sin(5x)sin(x)=4 limx→π2=1tan2(x)+1=5 limx→0=√x+1-1tan(x)=6 limx→0=sin(x)cos(3x)=7 limx→π2=cos(x)1+sin(x)= | 8 limx→0sin(6x).tan(x)1-cos(x)=9 limx→+∞xsin(1x)=10 limx→0sin(2x)√1-cos(x)=11 limx→0(1-sin(x))tan(x)=12 limx→π2-tan(x)=13 limx→0cos(6x)-√3sin(x)6x-π=14 limx→π2+cos(x)1-sin(x)= |
IIX- Exercices
8-5/ Exercice 5
- Calculer les limites suivantes :
1 limx→2x2+2x+3=2 limx→21x2+2x+3=3 limx→2√x2+2x+3=4 limx→0x2+x+1x+1=5 limx→3x2-9x-3=6 limx→3x3-27x-3=7 limx→2+|2-x|x2-4= | 8 limx→-1x2+2x+1x2+x=9 limx→-1+x3+2x2+2xx+1=10 limx→1x4-2x3+x2+x-1x2+x-2=11 limx→-3√x+12-3x2-9=12 limx→3√x+1-2x-3=13 limx→2x3-8x2-3x+2=14 limx→32-x(x-3)2= |
IIX- Exercices
8-6/ Exercice 6
- Calculer les limites suivantes :
1 limx→+∞2x2+x-5x-3=2 limx→-∞-2x2+x+15x4+x-8=3 limx→+∞2x2-4x+3x2+x+1=4 limx→-∞xx2+1-1x+3=5 limx→+∞1-x2x-6=6 limx→+∞√x2+1x=