Séance 7-1-2 : Calcul intégral - Partie 1 (Exercices)

Sommaire

III- Exercices I

3-1/ Exercice 1-1

3-2/ Exercice 1-2

3-3/ Exercice 1-3

3-4/ Exercice 1-4

III- Exercices I

3-1/ Exercice 1-1

• Calculer les intégrales suivantes :

III- Exercices I

3-2/ Exercice 1-2

Soit $f$ la fonction définie par : $f\left(x\right)=\frac{1}{{\left(x^2+3x+2\right)}^3}$

1. Déterminer les réels $a$, $b$, $c$, $d$, $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $x\in \left[2;3\right]$ :

$f\left(x\right)=\frac{a}{{\left(x+1\right)}^3}+\frac{b}{{\left(x+2\right)}^3}+\frac{c}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{d}{{\left(x+2\right)}^2}+\frac{\alpha }{x+1}+\frac{\beta }{x+2}$

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie par : $u_n={\int }_0^{n}f\left(x\right)dx$

2. Calculer $u_n$ en fonction de $n$ puis montrer que :

$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\ln \left(64\right)-\frac{33}{8}$

III- Exercices I

3-3/ Exercice 1-3

• En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :

$$\begin{gathered} I={\int }_0^{\ln a}\left(1+e^x\right)\ln \left(x+e^x\right)dx ; \left(a\in ]1;+\infty [\right) \\ J={\int }_{\ln \frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\ln \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{e}^{2x}\sin \left(e^x\right)dx \\ K={\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx \\ L={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos x.\ln \left(1+\cos x\right)dx \\ M={\int }_1^2\frac{1}{x^3}{e}^{\frac{1}{x}}dx \\ N={\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\frac{\ln \left(1+x\right)}{\sqrt{1+x}}dx \end{gathered}$$

III- Exercices I

3-4/ Exercice 1-4

• En utilisant la technique de changement de variable, calculer les intégrales suivantes :

$$\begin{gathered} I={\int }_1^3\frac{\sqrt{x}}{1+x}dx ; \left(t=\sqrt{x}\right) \\ J={\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}dx ; \left(t=\tan \frac{x}{2}\right) \\ K={\int }_0^1\sqrt{1+x^2}dx ; \left(x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right) \\ L={\int }_5^{10}\frac{1+\sqrt{x-1}}{x-2}dx ; \left(t=\sqrt{x-1}\right) \\ M={\int }_1^2\sqrt{x^2-1}dx ; \left(x=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right) \\ N={\int }_0^{\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{9}}\frac{2x}{{\cos }^2\left(x^2\right)}dx ; \left(x=t^2\right) \\ P={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} ; \left(x=\frac{t^2-1}{2t} et t>0\right) \\ R={\int }_4^9\frac{dt}{\sqrt{t}\left(t-4\sqrt{t}+5\right)} ; \left(x=\sqrt{t}-2\right) \end{gathered}$$