Séance 6-2-1 : Nombres complexes - Partie 2 (Cours)

Sommaire

IIX- Racines $n^{ème}$ d’un nombre complexe non nul

8-1/ Racines $n^{ème}$ de l'unité

8-2/ Racines $n^{ème}$ d'un nombre complexe non nul

IX- Équations du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

9-1/ Racines carrées d’un nombre complexe

9-2/ Résolution algébrique d'une équation du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

X- Transformations usuelles du plan

10-1/ La translation

10-2/ L'homothétie

10-3/ La rotation

10-4/ Composition de quelques transformations du plan

IIX- Racines $n^{ème}$ d’un nombre complexe non nul

8-1/ Racines $n^{ème}$ de l'unité

Définition 12

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

On appelle racine $n^{ème}$ de l'unité tout nombre complexe $u$ tel que $u^n=1$.

L'ensemble des racines $n^{ème}$ de l'unité est noté ${\mathbb{U}}_n$.

On a donc : ${\mathbb{U}}_n=\left\{z\in \mathrm{ℂ}/z^n=1\right\}$

Remarque

Les racines $n^{ème}$ de l’unité sont les solutions dans $\mathrm{ℂ}$ de l’équation $z^n=1$.

IIX- Racines $n^{ème}$ d’un nombre complexe non nul

8-1/ Racines $n^{ème}$ de l'unité

Remarques

1- On a $1+j+j^2=0$ et $z^3-1=\left(z-1\right)\left(z-j\right)\left(z-j^2\right)$ pour tout $z\in \mathrm{ℂ}$.

2- Pour $n\in \left\{2;3;4\right\}$, le produit de deux éléments de ${\mathbb{U}}_n$ est aussi élément de ${\mathbb{U}}_n$.

En fait, ce résultat est valable pour tout entier $n\ge 2$.

3- Pour $n\in \left\{2;3;4\right\}$, l’inverse et le conjugué de tout élément de ${\mathbb{U}}_n$ sont aussi des éléments de ${\mathbb{U}}_n$.

En fait, ce résultat est valable pour tout entier $n\ge 2$. On a donc pour tout $z\in \mathrm{ℂ}$ :

$z\in {\mathbb{U}}_n\iff \overline{z}\in {\mathbb{U}}_n\iff \frac{1}{z}\in {\mathbb{U}}_n$

4- Soit $A_0$, $A_1$, et $A_2$ les points du plan d’affixes respectives $1$, $j$ et $j^2$.

Alors, $A_0{A}_1{A}_2$ est un triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique.

5- Soit $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ les points du plan d’affixes respectives $1$, $i$, $-1$ et $-i$.

Alors $A_0{A}_1{A}_2{A}_3$ est un carré inscrit dans le cercle trigonométrique.

IIX- Racines $n^{ème}$ d’un nombre complexe non nul

8-1/ Racines $n^{ème}$ de l'unité

Proposition 27

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

Les racines $n^{ème}$ de l’unité sont les nombres qui s’écrivent sous la forme $e^{i\frac{2k\mathrm{\pi }}{n}}$ où $k\in \left\{0;1;2;...;n-1\right\}$.

On a donc :

${\mathbb{U}}_n=\left\{e^{i\frac{2k\mathrm{\pi }}{n}}/k\in \left\{0;1;2;...;n-1\right\}\right\}$ et $card{\mathbb{U}}_n=n$

IIX- Racines $n^{ème}$ d’un nombre complexe non nul

8-1/ Racines $n^{ème}$ de l'unité

Proposition 28

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

Pour tous $u$ et $v$ de ${\mathbb{U}}_n$ :

$u\times v\in {\mathbb{U}}_n ; \frac{1}{u}\in {\mathbb{U}}_n ; \overline{u}\in {\mathbb{U}}_n \left( \overline{u}=\frac{1}{u}\right)$

IIX- Racines $n^{ème}$ d’un nombre complexe non nul

8-1/ Racines $n^{ème}$ de l'unité

Proposition 29

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

Posons, pour tout $k\in \left\{0;1;...;n-1\right\}$ : ${\omega }_k=e^{i\frac{2k\mathrm{\pi }}{n}}$

Alors :

1) Pour tout $k\in \left\{1;...;n-1\right\}$ : $\overline{{\omega }_k}={\omega }_{n-k}$

2) Pour tout $k\in \left\{0;1;...;n-1\right\}$ : ${\omega }_k={{\omega }_1}^k$

3) La somme des $n$ racines $n^{ème}$ de l’unité est nulle.

4) Les racines $n^{ème}$ de l’unité sont représentées dans le plan complexe par les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, et dont l’un des sommets est le point d’affixe $1$. Ce polygone est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

IIX- Racines $n^{ème}$ d’un nombre complexe non nul

8-2/ Racines $n^{ème}$ d'un nombre complexe non nul

Définition 13

Soit $Z$ un nombre complexe non nul et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.

Une racine $n^{ème}$ de $Z$ est un nombre complexe $z$ tel que $z^n=Z$.

IIX- Racines $n^{ème}$ d’un nombre complexe non nul

8-2/ Racines $n^{ème}$ d'un nombre complexe non nul

Proposition 30

Soit $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*-\left\{1\right\}$ et $Z$ un nombre complexe non nul d'argument $\phi : Z=\left|Z\right|.e^{i\phi }$.

Le nombre $Z$ admet exactement $n$ racines $n^{ème}$ données pai .

$z_k=\sqrt[n]{\left|Z\right|}{e}^{i\left(\frac{\phi }{n}+k\frac{2\mathrm{\pi }}{n}\right)} / k\in \left\{0;1;....;n-1\right\}$

IIX- Racines $n^{ème}$ d’un nombre complexe non nul

8-2/ Racines $n^{ème}$ d'un nombre complexe non nul

Remarques

Les racines $n^{ème}$ de $Z$ s'obtiennent à partir de l'une d’entre elles en multipliant celle-ci par chacune des racines $n^{ème}$ de l’unité.

En effet, si $z_0$ est l'une des racines neme de $Z$ Z , on a :

$z^n=Z\iff z^n={z_0}^n\iff {\left(\frac{z}{z_0}\right)}^n=1\iff \left[\left(\exists \omega \in {\mathbb{U}}_n\right) z=z_0\omega \right]$

Par suite, l'ensemble des racines neme de $Z$ est : $\left\{z_0\omega /\omega \in {\mathbb{U}}_n\right\}$

Ainsi, pour trouver les racines $n^{ème}$ de $Z$, il suffit donc d'en exhiber une et de la multiplier par toutes les racines $n^{ème}$ de l'unité.

Une bonne connaissance des racines $n^{ème}$ de l'unité est donc capitale pour résoudre ce type de problème.

IX- Équations du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

9-1/ Racines carrées d’un nombre complexe

Résumé

Tout nombre complexe non nul $Z$ admet exactement deux racines carrées opposées :

1) Si $Z=\left|Z\right|.e^{i\phi }$, alors les racines carrées sont $\sqrt{\left|Z\right|}{e}^{i\frac{\phi }{2}}$ et $\sqrt{\left|Z\right|}{e}^{i\left(\frac{\phi }{2}+\mathrm{\pi }\right)}$. En particulier :

- Si $Z\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$, ses racines carrées sont $\sqrt{Z}$ et $-\sqrt{Z}$.

- Si $Z\in {\mathrm{ℝ}}_{-}^{*}$, ses racines carrées sont $i\sqrt{-Z}$ et $-i\sqrt{-Z}$.

- Si $Z\in i{\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$, ses racines carrées sont $\sqrt{\frac{\left|Z\right|}{2}}\left(1+i\right)$ et $-\sqrt{\frac{\left|Z\right|}{2}}\left(1+i\right)$

- Si $Z\in i{\mathrm{ℝ}}_{-}^{*}$, ses racines carrées sont $\sqrt{\frac{\left|Z\right|}{2}}\left(1-i\right)$ et $-\sqrt{\frac{\left|Z\right|}{2}}\left(1-i\right)$.

2) Si $Z=X+iY$ avec  $\left(X;Y\right)\in {\left(\mathrm{ℝ}*\right)}^2$, et si $\alpha =\frac{1}{2}\left(X+\sqrt{X^2+Y^2}\right)$ et $\beta =\frac{1}{2}\left(-X+\sqrt{X^2+Y^2}\right)$, alors les racines carrées de $Z$ sont :

- $\sqrt{\alpha }+i\sqrt{\beta }$ et $-\sqrt{\alpha }-i\sqrt{\beta }$ si $Y>0$

- $\sqrt{\alpha }-i\sqrt{\beta }$ et $-\sqrt{\alpha }+i\sqrt{\beta }$ si $Y<0$

Remarque

Il n’est pas indispensable d’apprendre par cœur les résultats énoncés ci-dessus.

Il faut plutôt savoir la démarche à suivre pour la détermination des racines carrées d'un nombre complexe selon le contexte.

IX- Équations du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

9-2/ Résolution algébrique d'une équation du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

Proposition 31

Soit $\left(a;b;c\right)\in \mathrm{ℂ}*\times \mathrm{ℂ}\times \mathrm{ℂ}$, ainsi que l'équation d'inconnue $z\in \mathrm{ℂ}$ :

$a{z}^2+bz+c=0$

On note $\Delta =b^2-4ac$ son discriminant.

Si $\Delta \ne 0$, l’équation admet deux solutions distinctes $z_1$ et $z_2$ données par $z_1=\frac{-b-\delta }{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\delta }{2a}$ où $\delta$ est tel que ${\delta }^2=\Delta$.

De plus, on a la factorisation : $\left(\forall z\in \mathrm{ℂ}\right) a{z}^2+bz+c=a\left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)$

Si $\Delta =0$, l’équation a une seule solution, dite double, donnée par : $z=-\frac{b}{2a}$

De plus, on a la factorisation : $\left(\forall z\in \mathrm{ℂ}\right) a{z}^2+bz+c=a{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2$

IX- Équations du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

9-2/ Résolution algébrique d'une équation du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

Corollaire

Soit $a$ ,$b$ et $c$ trois réels, $a$ étant non nul, ainsi que l’équation dans $\mathrm{ℂ}$ : $\left(E\right) a{z}^2+bz+c=0$

On note $\Delta =b^2-4ac$ son discriminant.

Si $\Delta >0$, alors l’équation $\left(E\right)$ a deux racines réelles distinctes $z_1$ et $z_2$ données par :

$z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $z_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$.

Si $\Delta =0$, alors l’équation $\left(E\right)$ a une racine double réelle donnée par : $z=-\frac{b}{2a}$

Si $\Delta <0$, alors l’équation $\left(E\right)$ a deux racines complexes distinctes conjuguées $z_1$ et $z_2$ données par :

$z_1=\frac{-b-i\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $z_1=\frac{-b+i\sqrt{\Delta }}{2a}$.

IX- Équations du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

9-2/ Résolution algébrique d'une équation du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

Proposition 32

Soit $a$ ,$b$ et $c$ trois nombres complexes, avec $a\ne 0$.

Les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ (éventuellement égaux) vérifient $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ et $z_1\times z_2=\frac{c}{a}$ si, et seulement si, $z_1$ et $z_2$ sont les deux racines (éventuellement confondues) de l'équation $a{z}^2+bz+c=0$.

IX- Équations du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

9-2/ Résolution algébrique d'une équation du second degré dans $\mathrm{ℂ}$

Remarque

On utilise la proposition précédente sous plusieurs formes :

- Si Ton sait que $z_1$ et $z_2$ sont les racines de l'équation $a{z}^2+bz+c=0$, alors on peut simplifier toute expression symétrique e $z_1$ et $z_2$, et l'évaluer en fonction de $z_1+z_2$ et $z_1\times z_2$; et donc de $a$ ,$b$ et $c$, sans avoir à expliciter $z_1$ et $z_2$.

Dans la pratique, on rencontre souvent les expressions symétriques :

${z_1}^n+{z_2}^n ; {z_1}^n\times {z_2}^n ; \frac{1}{{z_1}^n} +\frac{1}{{z_2}^n} ; {\left(\frac{z_2}{z_1}\right)}^n +{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}^n \left(n\in \left\{1;2;3;4\right\}\right)$

- Si $z_1$ et $z_2$ sont les racines de l'équation $a{z}^2+bz+c=0$, et si l’on connaît une de ces racines, alors on peut facilement en déduire l’autre.

- Si l'on connaît deux complexes $s$ et $p$, et si l’on cherche $z_1$ et $z_2$ tels que $z_1+z_2=s$ et $z_1\times z_2=p$, alors une façon élégante et efficace de faire est de dire que $z_1$ et $z_2$ sont les racines de l’équation :

$z^2-sz+p=0$

X- Transformations usuelles du plan

10-1/ La translation

Définition 14

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan.

La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ est l’application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$, associe l’unique point $M\text{'}$ tel que : $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{u}$

X- Transformations usuelles du plan

10-1/ La translation

Proposition 33

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan et a son affixe.

La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ est représentée dans le plan complexe $\mathcal{P}$ par l'application :

$$\begin{gathered} \mathrm{ℂ}\to \mathrm{ℂ} \\ z\mapsto z\text{'}=z+a \end{gathered}$$

La relation $z\text{'}=z+a$ s’appelle l’écriture (ou la formule) complexe de la translation $T$ de vecteur $\overrightarrow{u}\left(a\right)$.

X- Transformations usuelles du plan

10-2/ L'homothétie

Définition 15

Soit $\Omega$ un point du plan et $\lambda \in \mathrm{ℝ}*$.

L'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\lambda$ est l’application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$, associe l’unique point $M\text{'}$ tel que : $\overrightarrow{\Omega M\text{'}}=\lambda \overrightarrow{\Omega M}$

X- Transformations usuelles du plan

10-2/ L'homothétie

Proposition 34

L'homothétie de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$ et de rapport $\lambda$ est représentée dans le plan complexe $\mathcal{P}$ par l’application :

$$\begin{gathered} \mathrm{ℂ}\to \mathrm{ℂ} \\ z\mapsto z\text{'}=\omega +\lambda \left(z-\omega \right) \end{gathered}$$

La relation $z\text{'}=\omega +\lambda \left(z-\omega \right)$ s’appelle l'écriture (ou la formule) complexe de l’homothétie $H$ de centre $\Omega \left(\omega \right)$ et de rapport $\lambda$.

X- Transformations usuelles du plan

10-3/ La rotation

Définition 16

Soit $\Omega$ un point du plan et $\theta \in \mathrm{ℝ}$.

La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ est l’application du plan dans lui-même qui transforme $\Omega$ en $\Omega$, et tout point $M\ne \Omega$ en l’unique point $M\text{'}$ tel que :

$\Omega M=\Omega M\text{'} et \left(\overline{\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M\text{'}}}\right)\equiv \theta \left[2\mathrm{\pi }\right]$

X- Transformations usuelles du plan

10-3/ La rotation

Proposition 35

La rotation de centre $\Omega$, d’affixe $\omega$ et d'angle $\theta$ est représentée dans le plan complexe $\mathcal{P}$ par l’application :

$$\begin{gathered} \mathrm{ℂ}\to \mathrm{ℂ} \\ z\mapsto z\text{'}=\omega +e^{i\theta }\left(z-\omega \right) \end{gathered}$$

La relation $z\text{'}=\omega +e^{i\theta }\left(z-\omega \right)$ s’appelle l'écriture (ou la formule) complexe de la rotation $R$ de
centre $\Omega \left(\omega \right)$ et d’angle $\theta$.

X- Transformations usuelles du plan

10-4/ Composition de quelques transformations du plan

Résumé

$a$ et $b$ sont deux nombres complexes tels que $a\ne 0$.

Soit $T$ la transformation du plan d'écriture complexe $z\text{'}=az+b$.

1- Si $a=1$, alors $T$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ d’affixe $b$.

2- Si $a\in \mathrm{ℝ}*\left\{1\right\}$, alors $T$ est l’homothétie de centre $\Omega \left(\frac{b}{1-a}\right)$ et de rapport $a$.

3- Si $a\notin \mathrm{ℝ}$ et $\left|a\right|=1$, alors $T$ est la rotation de centre $\Omega \left(\frac{b}{1-a}\right)$ et d'angle $arg\left(a\right)$.

4- Si $a\notin \mathrm{ℝ}$ et $\left|a\right|\ne 1$, alors $T$ est la composée de la rotation $R$ de centre $\Omega \left(\frac{b}{1-a}\right)$ et d'angle $arg\left(a\right)$, et l'homothétie $H$ de centre $\Omega \left(\frac{b}{1-a}\right)$ et de rapport $\left|a\right|$.

Dans ce cas, on a : $T=R\circ H=H\circ R$