Math TC - Semestre 1 Devoir 3 Modèle 1

I- Exercice 1 (4 pts)

 On pose : $A\left(\frac{127\mathrm{\pi }}{4}\right)$ et $B\left(-\frac{585\mathrm{\pi }}{2}\right)$

1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de $A$ et $B$.

2. Représenter $A$ et $B$ sur le cercle trigonométrique.

Pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$, on pose :$C\left(x\right)=\cos \left(10\mathrm{\pi }+x-\frac{13\mathrm{\pi }}{2}\right)-\sin \left(5\mathrm{\pi }+x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

3. Simplifier $C\left(x\right)$.

4. Calculer  $\sin \left(\frac{127\pi }{4}\right)$ et $\cos \left(\frac{-585\pi }{2}\right)$

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II- Exercice 2 (4 pts)

Soit $x\in \left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$  et $\sin x=\frac{\sqrt{5}}{4}$

1. Calculer $\cos \left(x\right)$ et $\tan \left(x\right)$.

Soit $x\in \left[\frac{\mathrm{\pi }}{2};\mathrm{\pi }\right]$  et $\cos x=\frac{-2}{3}$

2. Calculer $\sin \left(x\right)$ et $\tan \left(x\right)$.

On pose : $\cos \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. Calculer $\sin \left(\frac{5\pi }{12}\right)$ et $\tan \left(\frac{5\pi }{12}\right)$

III- Exercice 3 (12 pts)

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation : $x^2-3x+2=0$

2. Déterminer le signe du trinôme $x^2-3x+2$.

3. En déduire les solutions des inéquations $x^2-3x+2\le 0$ et $x^2-3x+2>0$.

On considère l’équation : $\left(E\right) : 2x^2-3x+1=0$

4. Vérifier que l’équation $\left(E\right)$ admet deux solutions distincts $\alpha$ et $\beta$ sans les déterminer.

5. Sachant que $\alpha =\frac{1}{2}$, vérifier que $\beta =1$.

6. En déduire les solutions de l’équation :

$\left(x^2-3x+2\right)\left(2x^2-3x+1\right)=0$

7. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’inéquation :

$\left(x^2-3x+2\right)\left(2x^2-3x+1\right)\ge 0$

8. Résoudre dans ${\mathrm{ℝ}}^2$ le système suivant :

$\left\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ 5x-2y=1\end{array}\right.$

9. En déduire les solutions du système :

$\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\\ 5\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1\end{array}\right.$