Séance 5-1-2 : Fonctions exponentielles - Partie 1 (Exercices)

Sommaire

II- Exercices I

2-1/ Exercice 1-1

2-2/ Exercice 1-2

2-3/ Exercice 1-3

2-4/ Exercice 1-4

II- Exercices I

2-1/ Exercice 1-1

$n$ est un entier naturel non nul.

On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f_n\left(x\right)=x+\frac{e^{-x}}{n}$

Soit $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ la courbe représentative de $f_n$ dans le plan muni d’ un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)$.

2. Étudier la branche infinie de $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ au voisinage de $-\infty$.

3. Montrer que la droite $\left(D\right)$ d’équation $y=x$ est une asymptote oblique à la courbe  au voisinage de $\left({\mathcal{C}}_n\right)$, puis déterminer la position relative de $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ et $\left(D\right)$.

4. Étudier les variations de $f_n$ et dresser son tableau de variations.

5. Construire la courbe $\left({\mathcal{C}}_3\right)$. (On prend $f_3\left(-0,6\right)\approx 0$ et $f_3\left(-1,5\right)\approx 0$ et $\ln 3\approx 1,1$).

6. Montrer que pour $n\ge 3$ on a : $\frac{e}{n}<\ln n$

7. Montrer que pour $n\ge 3$ l’équation $f_n\left(x\right)=0$ admet exactement deux solutions $x_n$ et $y_n$ telles que : $x_n\le -\ln n$ et $\frac{-e}{n}\le y_n\le 0$.

8. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n$.

On considère la fonction numérique $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par :

$\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)=-1-x\ln x ; x>0\\ g\left(0\right)=-1\end{array}\right.$

9. Montrer que la fonction $g$ est continue à droite au point $0$.

10. Vérifier que pour $n\ge 3$ on a : $g\left(\frac{-1}{x_n}\right)=\frac{\ln n}{x_n}$.

11. En déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln n}{x_n}$.

II- Exercices I

2-2/ Exercice 1-2

Soit $n$ un entier naturel .

On considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathrm{ℝ}*$ par : $f_n\left(x\right)=\frac{e^{nx}}{x^2}$

Soit $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ la courbe de $f_n$ dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)$ et $\underset{x\to 0}{\lim }{f}_n\left(x\right)$.

2. Étudier les branches infinies de la courbe $\left({\mathcal{C}}_n\right)$.

3. Montrer que $f_n$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et $]-\infty ;0[$, puis calculer $f_n\text{'}\left(x\right)$.

4. Dresser le tableau de variations de $f_n$.

5. Montrer que l’équation $f_n\left(x\right)=1$ admet dans $]-\infty ;0[$ une seule solution $x_n$.

6. Montrer que $\left(\forall n\ge 2\right) -1<x_n<-\frac{1}{n}$

7. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) f_{n+1}\left(x_n\right)=e^{x_n}$, et en déduire que ${\left(x_n\right)}_n$ est convergente.

8. Prouver que $\left(\forall n\ge 2\right) x_n\ge -\frac{2\ln n}{n}$, puis déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }n{x}_n$.

9. Tracer la courbe $\left({\mathcal{C}}_1\right)$.

II- Exercices I

2-3/ Exercice 1-3

Soit $n$ un entier de $\mathrm{\mathbb{N}}*$.

On considère la fonction $f_n$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $f_n\left(x\right)=\frac{e^x-1}{x}+n\ln x$

Partie 1

On pose $g\left(x\right)=1+\left(x-1\right)e^x$

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$

2. Étudier les variations de $g$, en déduire que $\left(\forall x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}*\right) g\left(x\right)>0$.

3. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}_n\left(x\right)$.

4. Étudier la branche infinie de $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ au voisinage de $+\infty$.

5. Calculer la dérivée $f_n$, puis déduire que $f_n$ est strictement croissants sur $]0;+\infty [$.

6. Étudier la position relative des courbes $\left({\mathcal{C}}_1\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_2\right)$.

7. Tracer dans un même repère les ccourbes $\left({\mathcal{C}}_1\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_2\right)$.

Partie 2

1. Montrer que l’équation $f_n\left(x\right)=0$ admet une seule solution ${\alpha }_n$ et que ${\alpha }_n<1$.

2. Vérifier que $f_{n+1}\left({\alpha }_n\right)=\ln {\alpha }_n$, en déduire que ${\left({\alpha }_n\right)}_n$ est croissante.

3. Montrer que $\left(\forall x\in ]0;1]\right) \frac{e^x-1}{x}\le e-1$.

4. Déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) {\alpha }_n\ge e^{\frac{1-e}{n}}$, puis déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\alpha }_n$.

II- Exercices I

2-4/ Exercice 1-4

Soit $n$ un entier naturel. On considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathrm{ℝ}*$ par : $f_n\left(x\right)=\frac{e^{nx}}{x^2}-1$

Partie 1

On suppose $n=1$

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}_1\left(x\right)$ et $\underset{x\to 0}{\lim }{f}_1\left(x\right)$, interpréter les résultats.

2. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f_1\left(x\right)}{x}=+\infty$, que peut-on déduire ?

3. Calculer $f_1\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}*$, puis donner le tableau de variations.

Soit $h$ la restriction de $f_1$ sur $I=]0,2]$.

4. Montrer que $h$ est bijective de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer.

5. Calculer $f_1\left(1\right)$ et montrer que $h^{-1}$ est dérivable en $a=e-1$, et déterminer ${\left(h^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(e-1\right)$.

6. Tracer la courbe de $f_1$.

Partie 2

1. Étudier le sens de variation de $f_n$ sur $]-\infty ;0[$ et $]0;+\infty [$.

2. Montrer que l’équation $f_n\left(x\right)=0$ admet une seule solution ${\alpha }_n$ dans $]-\infty ;0[$.

3. Étudier le signe de $f_{n+1}\left(x\right)-f_n\left(x\right)$ sur $]-\infty ;0[$.

4. Déduire la position relative des courbes $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_{n+1}\right)$.

5. Montrer que ${\left({\alpha }_n\right)}_n$ est croissante et convergente.

6. Déterminer la limite de la suite ${\left({\alpha }_n\right)}_n$.

On pose $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{{{\alpha }_k}^2}{k^2}$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}*$.

7. Montrer que ${\left(S_n\right)}_n$ est croissante et convergente.

(On Remarque que $\left(\forall k\ge 2\right) \frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k\left(k-1\right)}$)