Maths 3AC - Examen Local 5

I- Exercice 1 (6,5 pts)

1. Calculer :

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}= ; 2\sqrt{7}\times 5\sqrt{7}=$

2. Calculer et simplifier les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A=\sqrt{50}+4\sqrt{18}-6\sqrt{8} \\ B=\sqrt{21+\sqrt{10+\sqrt{36}}} \end{gathered}$$

3. Montrer que $\frac{1}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

On pose : $C={\left(x+3\right)}^2+2x+6$

4. Développer $C$.

5. Factoriser $C$ pour prouver que $C=\left(x+3\right)\left(x+5\right)$.

6. Donner l’écriture scientifique du nombre :

$D=3,5\times {10}^{-2}\times 2\times {10}^{-3}\times {10}^9$

II- Exercice 2 (4 pts)

1. Comparer $5\sqrt{3}$ et $7\sqrt{2}$.

2. Déduire une comparaison pour les nombres $\frac{1}{5\sqrt{3}+10}$ et $\frac{1}{7\sqrt{2}+10}$.

$x$ et $y$ deux nombres réels tel que $1\le x\le 3$ et $-5\le 2y+3\le -1$.

3. Montrer que $-4\le y\le -2$.

4. Encadrer les nombres :

$x+y ; -y ; x-y ; xy$

III- Exercice 3 (1,5 pts)

Soit $\alpha$ est la mesure d’un angle aigu non nul tel que : $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Montrer que $\cos \alpha =\frac{1}{2}$.

2. Déduire $\tan \alpha$.

Soit $x$ est la mesure d’un angle aigu non nul.

3. Simplifier l’expression :

$E={(\sin x+\cos x)}^2+{(\sin x—\cos x)}^2$

IV- Exercice 4 (3,5 pts)

$ABC$ est un triangle tel que $AB=3$, $AC=\sqrt{7}$ et $BC=4$.

1. Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.

2. Calculer les rapports trigonométrique de l’angle $\widehat{ABC}$.

Soit $H$ la projection orthogonale de $A$ sur $\left(BC\right)$.

3. En utilisant $\sin \widehat{ABC}$ dans les deux triangle $ABC$ et $AHB$, montrer que $AH=\frac{3\sqrt[]{7}}{4}$.

V- Exercice 5 (3 pts)

Sur la figure suivante, on a :

$AB=5 ; AE=2 ; BC=6 ; \left(EF\right)//\left(BC\right)$

1. Calculer $EF$.

Soit $M$ un point de $\left[AB\right]$ et $N$ un point de $\left[CB\right]$ tel que $BM=1$ et $BN=1,2$.

2. Comparer les rapports $\frac{BM}{BA}$ et $\frac{BN}{BC}$.

3. Montrer que $\left(MN\right)//\left(AC\right)$.

VI- Exercice 6 (1,5 pts)

Sur le cercle $\left(C\right)$, on a $\widehat{FDP}=42°$.

1. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{FMP}$.

2. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{FOP}$.