Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 5-3 : Fonctions exponentielles - Problème de synthèse

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

V- Problème de synthèse

5-1/ Partie 1

5-2/ Partie 2

 


 

5-1/ Partie 1

Pour tout n* on considère la fonction gn définie par : gnx=x+e-nx.

Et soit Cn sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i,j.

  1. Étudier les variations de la fonction gn.
  1. Montrer que gn admet un minimum absolu en un réel un qu'on exprimera en fonction de n.
  1. Calculer les limites limx-gnx et limx+gnx.
  1. Déterminer les branches infinies de Cn.
  1. Étudier la position relative des courbes C1 et C2.
  1. Tracer dans le repère O,i,j les courbes C1 et C2. (On prend : i=2cm  et ln(2)0.7)

 

 

On considère la fonction fn définie sur M par : fnx=x+enx

Et soit Γn sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i,j.

  1. Étudier les variations de la fonction fn.
  1. En déduire que l’équation fnx=0 admet une solution unique αn.
  1. Montrer que α1]-ln2;-12[.
  1. Montrer que les quantités x-α1 et ex+α1 ont le même signe.

On considère la fonction φ définie sur ]-;-12] par : φx=ex-1ex

  1. Montrer que la fonction φ est décroissante sur l'intervalle ]-;-12].
  1. En déduire que pour tout x]-;-12] : ex+α11ex-α1

On considère la suite βn définie par β0=-12, et pour tout n : βn+1=-eβn

  1. Montrer qu'il existe un réel α tel que :

n : βn+1-α1αβn-α1

  1. Montrer que la suite βn est convergente et déterminer sa limite.