Séance 5-3 : Fonctions exponentielles - Problème de synthèse

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Sommaire

Pour tout $n \in ℕ *$ on considère la fonction $g_{n}$ définie par : $g_{n} (x) = x + e^{- n x}$ .

Et soit $C_{n}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Montrer que $g_{n}$ admet un minimum absolu en un réel un qu'on exprimera en fonction de $n$ .

Calculer les limites $\lim_{x \to - \infty} g_{n} (x)$ et $\lim_{x \to + \infty} g_{n} (x)$ .

Tracer dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ . (On prend : $||\vec{i}|| = 2 c m$ et $\ln (2) ≃ 0.7$ )

On considère la fonction $f_{n}$ définie sur M par : $f_{n} (x) = x + e^{n x}$

Et soit $Γ_{n}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

On considère la fonction $φ$ définie sur $] - \infty; - \frac{1}{2}]$ par : $φ (x) = e^{x} - \frac{1}{\sqrt{e}} x$

Montrer que la fonction $φ$ est décroissante sur l'intervalle $] - \infty; - \frac{1}{2}]$ .

En déduire que pour tout $x \in] - \infty; - \frac{1}{2}]$ : $|e^{x} + α_{1}| \leq \frac{1}{\sqrt{e}} |x - α_{1}|$

On considère la suite $(β_{n})$ définie par $β_{0} = - \frac{1}{2}$ , et pour tout $n \in ℕ$ : $β_{n + 1} = - e^{β_{n}}$

$(\forall n \in ℕ) : |β_{n + 1} - α_{1}| \leq α |β_{n} - α_{1}|$

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