Math 1Bac S.Exp - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 1

I- Exercice 1 (4 pts)

1. Déterminer les propositions parmi les énonces mathématiques suivants, justifier votre réponse :

a- Soit n un entier naturel

b- Il existe un réel $x$ tel que $x^2=2$

c- $6<\frac{25}{4}$

d- Si $n$ est un entier naturel pair, alors $n^2$ est pair.

On considère la proposition suivante :

$T:\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \left[x^2=49\Rightarrow x=7\right]$

2. Donner la négation de la proposition $T$.

3. En déduire que la proposition $T$ est fausse.

4. Recopier et compléter le tableau suivant :

II- Exercice 2 (3 pts)

1. Montrer que $\left(\forall x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right) \sqrt{4+x^2}\ne 2+x$.

2. Montrer que $\left(\forall x\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) 1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$.

III- Exercice 3 (7 pts)

On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que $f\left(x\right)=-x^2+2x+1$ et $g\left(x\right)=\sqrt{x-1}$.

1. Vérifier que $D_f=\mathrm{ℝ}$ et $D_g=[1;+\infty [$.

2. Montrer que $f$ est majorée par $2$.

3. Étudier la monotonie de $f$ et $g$ puis tracer leurs tableaux de variations.

4. Déterminer l’intersection de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ avec l’axe des abscisses.

5. Déterminer l’intersection de $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ avec l’axe des abscisses.

6. Construire $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ dans le même repère.

7. Déterminer graphiquement le nombre de solutions d’équation $x^2=2x+1-\sqrt{x-1}$.

On considère la fonction $h$ tel que $\left(\forall x\in D_h\right) : h\left(x\right)=f\circ g\left(x\right)$.

8. Déterminer $D_h$.

9. Vérifier que $\left(\forall x\in D_h\right) : h\left(x\right)=2\sqrt{x-1}-x+2$.

10. Déterminer la monotonie de $h$ sur $D_h$.

IV- Exercice 4 (6 pts)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies par $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^3$ et $g\left(x\right)=\sqrt{x+2}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$ et $g$.

2. Vérifier que $f\left(2\right)=g\left(2\right)$, puis interpréter le résultat graphiquement .

3. Dresser le tableau de variations de $f$ et $g$.

4. Construire les courbes $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

5. Résoudre graphiquement l’inéquation $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$ pour tout $x\in \left(D_f\cap D_g\right)$.

6. Déterminer graphiquement $g\left([-1;+\infty [\right)$.

7. Déterminer l’ensemble de définition $D_{g\circ f}$

8. Calculer $\left(g\circ f\right)\left(x\right)$ pour tout $x\in D_{g\circ f}$.