Séance 6 - Trigonométrie

Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Séance 6 (Trigonométrie)

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

Sommaire

I- Formules de transformations de $\sin (a \pm b)$ , $\cos (a \pm b)$ et $\tan (a \pm b)$

1-1/ Transformations de $\sin (a \pm b)$ et $\cos (a \pm b)$

1-2/ Transformations de $\tan (a \pm b)$

II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes

2-1/ Transformations des sommes à des produits

2-2/ Transformations des produits à des sommes

III- Autres formules de transformations

3-1/ Transformation de $a \cos x + b \sin x$

3-2/ Transformations de $\sin x$ , $\cos x$ et $\tan x$ en fonction de $t = \tan \frac{x}{2}$

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-1/ Équation de la forme $x \in ℝ / \cos x = a$

4-2/ Équation de la forme $x \in ℝ / \sin x = a$

4-3/ Équation de la forme $x \in ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π / k \in ℤ\} / \tan x = a$

4-4/ Équation de la forme $x \in ℝ / a \cos x + b \cos x = c$

V- Cercle trigonométrique

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

I- Formules de transformations de $\sin (a \pm b)$ , $\cos (a \pm b)$ et $\tan (a \pm b)$

1-1/ Transformations de $\sin (a \pm b)$ et $\cos (a \pm b)$

Formules

$\cos (a + b) = \cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) \cos (a - b) = \cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) \sin (a + b) = \sin (a) \cos (b) + \cos (a) \sin (b) \sin (a + b) = \sin (a) \cos (b) - \cos (a) \sin (b)$

Conséquences

Si $a = b$ on obtient : $\sin 2 a = 2 \sin a \cos a$ et $\cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a$

D’après $\cos^{2} a + \sin^{2} a = 1$ , on obtient $\cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a$

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}$ et $\cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

Exemple

I- Formules de transformations de $\sin (a \pm b)$ , $\cos (a \pm b)$ et $\tan (a \pm b)$

1-2/ Transformations de $\tan (a \pm b)$

Soient $a, b \in ℝ$ tel que $a \neq \frac{π}{2} + k π$ et $a + b \neq \frac{π}{2} + k π$ et $a - b \neq \frac{π}{2} + k π$ avec $k \in ℤ$ .

On a :

$\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \times \tan b} \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \times \tan b} \tan (2 a) = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a}$

Exemple

II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes

2-1/ Transformations des sommes à des produits

$\cos a + \cos b = 2 \cos (\frac{a + b}{2}) \cos (\frac{a - b}{2}) \cos a - \cos b = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) \sin (\frac{a - b}{2}) \sin a + \sin b = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) \cos (\frac{a - b}{2}) \sin a - \sin b = - 2 \cos (\frac{a + b}{2}) \sin (\frac{a - b}{2})$

Exemple

2-2/ Transformations des produits à des sommes

$\cos a \times \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \sin a \times \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) - \cos (a - b)] \sin a \times \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)]$

Exemple

III- Autres formules de transformations

3-1/ Transformation de $a \cos x + b \sin x$

Soient $a, b \in ℝ *$ .

On a :

$a \cos x + b \sin x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \times \sin (x + α)$ avec $\sin α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ et $\cos α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

$a \cos x + b \sin x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \times \cos (x - α)$ avec $\cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ et $\sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Exemple

3-2/ Transformations de $\sin x$ , $\cos x$ et $\tan x$ en fonction de $t = \tan \frac{x}{2}$

On pose $t = \tan \frac{x}{2}$ avec $x \neq π + 2 kπ$ et $x \neq \frac{π}{2} + kπ$ avec $k \in ℤ$ .

On a :

$\cos x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}; \sin x = \frac{2 t}{1 + t^{2}}; \cos x = \frac{2 t}{1 - t^{2}}$

Exemple

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-1/ Équation de la forme $x \in ℝ / \cos x = a$

$a$ est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation $x \in ℝ / \cos x = a$ .

Si $a \in] - \infty, - 1 [\cup] 1, + \infty [$ , alors $S = \emptyset$ (pas de solution)

Si $a \in [- 1, 1]$ , on cherche $α$ tel que $a = \cos α$ , d’où :

$\cos x = a \Leftrightarrow \cos x = \cos α \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = α + 2 k π \\ x = - α + 2 k π \end{cases}; k \in ℤ$

Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :

$S = \{α + 2 k π, - α + 2 kπ / k \in ℤ\}$ .

Cas particuliers

Si $a = 1$ , on a $S = \{2 k π / k \in ℤ\}$

Si $a = - 1$ , on a $S = \{π + 2 k π / k \in ℤ\}$

Si $a = 0$ , on a $S = \{\frac{π}{2} + k π / k \in ℤ\}$

Exemple

4-2/ Équation de la forme $x \in ℝ / \sin x = a$

$a$ est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation $x \in ℝ / \sin x = a$ .

Si $a \in] - \infty, - 1 [\cup] 1, + \infty [$ , alors $S = \emptyset$ (pas de solution)

Si $a \in [- 1, 1]$ , on cherche $α$ tel que $a = \sin α$ , d’où :

$\sin x = a \Leftrightarrow \sin x = \sin α \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = α + 2 k π \\ x = π - α + 2 k π \end{cases}; k \in ℤ$

Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :

$S = \{α + 2 k π, π - α + 2 kπ / k \in ℤ\}$ .

Cas particuliers

Si $a = 1$ , on a $S = \{\frac{π}{2} + 2 k π / k \in ℤ\}$

Si $a = - 1$ , on a $S = \{- \frac{π}{2} + 2 k π / k \in ℤ\}$

Si $a = 0$ , on a $S = \{k π / k \in ℤ\}$

Exemple

4-3/ Équation de la forme $x \in ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π / k \in ℤ\} / \tan x = a$

$a$ est un nombre réel donné l’ensemble de solutions de l’équation $x \in ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π / k \in ℤ\} / \tan x = a$ .

On cherche $α$ tel que $a = \tan α$ , d’où :

$\tan x = a \Leftrightarrow \tan x = \tan α \Leftrightarrow x = α + k π; k \in ℤ$

Par suite l’ensemble de solutions de l’équation est :

$S = \{α + k π / k \in ℤ\}$ .

Exemple

4-4/ Équation de la forme $x \in ℝ / a \cos x + b \cos x = c$

Pour résoudre l’équation suivante $(E) : x \in ℝ / a \cos x + b \cos x = c$ , on suit les étapes suivantes :

Étape 1

On écrit l’équation sous la forme suivante :

$(E) \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} [\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x] = c$

Puis on l’écrit :

$(E) \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} [\cos α \cos x + \sin α \sin x] = c o u (E) \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} [\sin α \cos x + \cos α \sin x] = c$

Puis on l’écrit :

$\cos (x - α) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} o u \sin (x - α) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 2

Au lieu de résoudre l’équation $(E) : x \in ℝ / a \cos x + b \cos x = c$ , on résout l’équation :

$\cos (x - α) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} o u \sin (x - α) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 3

Ensemble de solution de l’équation est lié à la valeur de $\frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Si $\frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \notin [- 1, 1]$ , l’équation n’a pas de solution : $S = \emptyset$

Si $\frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \in [- 1, 1]$ , on cherche $β$ tel que $\cos β = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ (ou $\sin β = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ )

D’où :

$(E) \Leftrightarrow \cos (x - α) = \cos β o u (E) \Leftrightarrow \sin (x + α) = \sin β$

Exemple

V- Cercle trigonométrique

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Soit $x \in ℝ$ .

Transformer en produit les expressions suivantes :

$A (x) = \cos x + \cos 3 x B (x) = \cos 2 x + \cos 4 x$

En déduire que :

$\cos x + \cos 2 x + \cos 3 x + \cos 4 x = 4 . \cos x . \cos (\frac{x}{2}) . \cos (\frac{5 x}{2})$

Montrer que :

$\sin x + \sin 2 x + \sin 3 x + \sin 4 x = 4 . \cos x . \cos (\frac{x}{2}) . \sin (\frac{5 x}{2})$

6-2/ Exercice 2

On considère l’expression suivante : $A (x) = 4 \sqrt{3} \cos^{4} x + \sqrt{3} \sin^{2} (2 x) - 2 \sin (2 x); (x \in ℝ)$

Montrer que : $4 \cos^{4} x = 4 \cos^{2} x - \sin^{2} (2 x)$

En déduire que : $A (x) = 4 \cos x . (\sqrt{3} \cos x - \sin x)$

Montrer que : $A (x) = 8 \cos x . \cos (x + \frac{π}{6})$

Résoudre dans $ℝ$ l’équation : $A (x) = 0$

6-3/ Exercice 3

Résoudre dans $ℝ$ l’équation : $(E_{1}) : \cos x + \sqrt{3} \sin x = - 1$

Résoudre dans $ℝ$ l’équation : $(E_{2}) : \sqrt{3} \cos (2 x) - \sin (2 x) = - \sqrt{2}$

Résoudre dans $[- π; π]$ l’inéquation : $\sqrt{3} \cos x - \sin x \leq - \sqrt{2}$

6-4/ Exercice 4

Pour tout $x \in ℝ$ , on pose : $A (x) = \sqrt{3} \sin (4 x) - 8 \sin^{2} x . \cos^{2} x$

Résoudre dans $ℝ$ l’équation : $2 \cos x - 1 = 0$

Montrer que : $(\forall x \in ℝ) : 1 - \cos (4 x) = 8 \sin^{2} x . \cos^{2} x$

En déduire que : $(\forall x \in ℝ) : A (x) = 2 \cos (4 x - \frac{π}{3}) - 1$

Résoudre dans $ℝ$ l’équation : $A (x) = 0$

Résoudre dans l’intervalle $[- \frac{π}{6}; \frac{π}{3}]$ l’inéquation : $A (x) \leq 0$

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Séance 6 - Trigonométrie

Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Séance 6 (Trigonométrie)

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

Sommaire

I- Formules de transformations de sin(a±b), cos(a±b) et tan(a±b)

1-1/ Transformations de sin(a±b) et cos(a±b)

1-2/ Transformations de tan(a±b)

II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes

2-1/ Transformations des sommes à des produits

2-2/ Transformations des produits à des sommes

III- Autres formules de transformations

3-1/ Transformation de acosx+bsinx

3-2/ Transformations de sinx, cosx et tanx en fonction de t=tanx2

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-1/ Équation de la forme x∈ℝ/cosx=a

4-2/ Équation de la forme x∈ℝ/sinx=a

4-3/ Équation de la forme x∈ℝ\π2+kπ/k∈ℤ/tanx=a

4-4/ Équation de la forme x∈ℝ/acosx+bcosx=c

V- Cercle trigonométrique

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

I- Formules de transformations de sin(a±b), cos(a±b) et tan(a±b)

1-1/ Transformations de sin(a±b) et cos(a±b)

Formules

Conséquences

Exemple

I- Formules de transformations de sin(a±b), cos(a±b) et tan(a±b)

1-2/ Transformations de tan(a±b)

Exemple

II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes

2-1/ Transformations des sommes à des produits

Exemple

II- Formules de transformations des sommes à des produit et les produits à des sommes

2-2/ Transformations des produits à des sommes

Exemple

III- Autres formules de transformations

3-1/ Transformation de acosx+bsinx

Exemple

III- Autres formules de transformations

3-2/ Transformations de sinx, cosx et tanx en fonction de t=tanx2

Exemple

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-1/ Équation de la forme x∈ℝ/cosx=a

Cas particuliers

Exemple

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-2/ Équation de la forme x∈ℝ/sinx=a

Cas particuliers

Exemple

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-3/ Équation de la forme x∈ℝ\π2+kπ/k∈ℤ/tanx=a

Exemple

IV- Équations trigonométriques (Rappel)

4-4/ Équation de la forme x∈ℝ/acosx+bcosx=c

Étape 1

Étape 2

Étape 3

Exemple

V- Cercle trigonométrique

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

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France

Plus

I- Formules de transformations de $\sin (a \pm b)$ , $\cos (a \pm b)$ et $\tan (a \pm b)$

1-1/ Transformations de $\sin (a \pm b)$ et $\cos (a \pm b)$

1-2/ Transformations de $\tan (a \pm b)$

3-1/ Transformation de $a \cos x + b \sin x$

3-2/ Transformations de $\sin x$ , $\cos x$ et $\tan x$ en fonction de $t = \tan \frac{x}{2}$

4-1/ Équation de la forme $x \in ℝ / \cos x = a$

4-2/ Équation de la forme $x \in ℝ / \sin x = a$

4-3/ Équation de la forme $x \in ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π / k \in ℤ\} / \tan x = a$

4-4/ Équation de la forme $x \in ℝ / a \cos x + b \cos x = c$

I- Formules de transformations de $\sin (a \pm b)$ , $\cos (a \pm b)$ et $\tan (a \pm b)$

1-1/ Transformations de $\sin (a \pm b)$ et $\cos (a \pm b)$

I- Formules de transformations de $\sin (a \pm b)$ , $\cos (a \pm b)$ et $\tan (a \pm b)$

1-2/ Transformations de $\tan (a \pm b)$

3-1/ Transformation de $a \cos x + b \sin x$

3-2/ Transformations de $\sin x$ , $\cos x$ et $\tan x$ en fonction de $t = \tan \frac{x}{2}$

4-1/ Équation de la forme $x \in ℝ / \cos x = a$

4-2/ Équation de la forme $x \in ℝ / \sin x = a$

4-3/ Équation de la forme $x \in ℝ \ \{\frac{π}{2} + k π / k \in ℤ\} / \tan x = a$

4-4/ Équation de la forme $x \in ℝ / a \cos x + b \cos x = c$