Mathématiques : Troc Commun Sciences

Séance 5 (L'ordre dans IR)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Ordre et opérations dans l’ensemble des nombres réels

1-1/ Ordre dans

1-2/ Propriétés de l’ordre et les opérations

II- Les intervalles – L'encadrement

2-1/ Les intervalles

2-2/ L'encadrement

III- Intersections et réunions d’intervalles

3-1/ Intersections d’intervalles

3-2/ Réunions d’intervalles

IV- Valeur absolue d’un nombre réel

4-1/ Définition

4-2/ Propriétés de la valeur absolue

4-3/ Distance et valeur absolue

V- Approximation – Approximation décimale

5-1/ Approximation

5-2/ Approximation décimale

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

 


I- Ordre et opérations dans l’ensemble des nombres réels

 

1-1/ Ordre dans

Soient a,b

  • Si ab alors  a-b0   , on dit que   b-a-
  • Si a<b alors  a-b<0   , on dit que   b-a-*
  • Si ab alors  a-b0   , on dit que   b-a+
  • Si a>b alors  a-b>0   , on dit que   b-a+*
  •  
Exemple

 


I- Ordre et opérations dans l’ensemble des nombres réels

 

1-2/ Propriétés de l’ordre et les opérations

Soient a,b,c,d

Si ab et bc, alors ac (l’ordre est transitive).

Si ab, alors a+cb+c et a-cb-c.

Si ab et cd, alors a+cb+d (l’ordre est compatible avec l’addition).

Si ab et c>0, alors a×cb×c et acbc.

Si ab et c<0, alors a×cb×c et acbc.

Si a et b sont non nuls et de même signe, on a : ab équivaut à 1a1b.

Si a et b sont positifs, on a ab équivaut a2b2.

Si a et b sont positifs, on a ab équivaut anbn (avec n)

Si a et b sont positifs, on a ab équivaut ab.

Exemple

 


II- Les intervalles – L'encadrement

 

2-1/ Les intervalles

Soient a,b tel que a<b.

Pour les intervalles suivants a,b et ]a,b[ et [a,b[ et ]a,b], on a :

a et b sont appelés les extrémités des intervalles.

Le nombre positif b-a est appelé la distance entre a et b.

Le nombre positif b-a est appelé la longueur (ou capacité) des intervalles précédents.

Le nombre x0=a+b2 représente le centre des intervalles précédents .

Le nombre positif r=b-a2 représente le rayon des intervalles précédents.

Les deux symboles - et + et ne sont pas des nombres.

+*=]0;+[+=[0;+[-*=]-;0[-=]-;0]]a;a[=

 est un intervalle appelé ensemble vide.

 


II- Les intervalles – L'encadrement

 

2-2/ L'encadrement

Soit x.

Réaliser un encadrement du nombre x, c’est trouver deux nombres réels a et b tel que axb ou bien ax<b ou bien a<xb ou bien a<x<b.

Le nombre réel positif b-a s’appelle l’amplitude de cet encadrement.

Exemple

 


III- Intersections et réunions d’intervalles

 

3-1/ Intersections d’intervalles

A et B sont deux ensembles.

Tous les éléments communs de A et de B constituent l’ensembles noté AB appelé intersection de A et B.

Donc : AB=x/xA et xB

Exemple

 


III- Intersections et réunions d’intervalles

 

3-2/ Réunions d’intervalles

A et B sont deux ensembles.

Tous les élémentsqui appartiennent soit à A ou soit à B constituent l’ensembles noté AB appelé union de A et B.

Donc : AB=x/xA ou xB

Exemple

 


IV- Valeur absolue d’un nombre réel

 

4-1/ Définition

Soit x.

D est une droite graduée d’origine O et d’unité de mesure OI=1.

Le point M est un point de D dont l’abscisse est x.

La valeur absolue du nombre x est la distance OM, on note OM=x.

Remarques

-x0x0x=xx0x=-x0=0-x=x

 


IV- Valeur absolue d’un nombre réel

 

4-2/ Propriétés de la valeur absolue

Pour tout a de , on a a2=a.

Pour tous a et b de , on a a×b=a×b.

Pour tout a de , on a an=an n et a-n=a-n n.

Pour tous a et b de , on a a+ba+b.

Pour tout b de *, on a 1b=1b.

Pour tous a de  et b de , on a ab=ab.

Pour tous a et b de , on a a=b équivaut à a=b ou a=-b.

Exemple

 


IV- Valeur absolue d’un nombre réel

 

4-3/ Distance et valeur absolue

Définition

Soit une droite graduée d’origine O.

Notons A d’abscisse a et B d’abscisse b.

Le nombre positif b-a est appelé la distance entre les points entre A et B.

On a AB=b-a.

 


IV- Valeur absolue d’un nombre réel

 

4-3/ Distance et valeur absolue

Propriétés

Soit x de et r+

xr équivaut à -rxr.

x<r équivaut à -r<x<r.

xr équivaut à x-r ou xr.

x>r équivaut à x<-r ou x>r.

x-x0r équivaut à x0-rxx0+r.

On a a,b=x0-r,x0+r avec x0=a+b2 centre de l’intervalle et r=b-a2  son rayon.

 


V- Approximation – Approximation décimale

 

5-1/ Approximation

Soit x et r+*.

- On dit que a est une valeur approchée (ou approximation) de x à r près (ou à la précision r) lorsque x vérifie x-ar.

- On dit que a est une valeur approchée par défaut de x à b-a près lorsque x vérifie axb.

- On dit que b est une valeur approchée par excès   de x à  b-a  près  lorsque x vérifie axb.

- On dit que a+b2 est une valeur approchée  de x à a-b2 près (ou à la précision r) lorsque x vérifie axb.

 
Exemple

 


V- Approximation – Approximation décimale

 

5-2/ Partie entière

Pour tout nombre réel x il existe un nombre entier relatif unique p tel que px<p+1.

Le nombre p s’appelle la partie entière de x, on note : Ex=p.

Exemple

 


V- Approximation – Approximation décimale

 

5-2/ Approximation décimale

Soit x et n alors il existe un entier naturel  p tel que  n×10-pxn+1×10-p), d’où :

Le nombre décimal n×10-p est appelé approximation décimale par défaut du nombre x à la  précision 10-p  .

Le nombre décimal n+1×10-p est appelé approximation décimale par excès du nombre x à la précision 10-p  .

Exemple

 


VI- Exercices

 

6-1/ Exercice 1

Soient A=318-72 et B=28+32-22

  1. Montrer que A-B=2-27
  1. Comparer A et B

On pose x=25-32 et y=39-1210

  1. Montrer que x0
  1. Calculer x2 et y2
  1. Comparer 1x et 1y

Soient a et b des nombres réels avec a2 et b2

On pose X=a+b et Y=ab+1

  1. Montrer que X2-Y2=a-11-b
  1. Comparer X et Y

 


VI- Exercices

 

6-2/ Exercice 2

Soient a et b deux réels tels que 3a9 et 2b7

  1. Encadrer les expressions suivantes :

a+b         ;         a-ba×b         ;         2a+3b-a+5b         ;         ab2a+3b-a+5b         ;         a2+b2

 

Soient x et y deux réels tels que 1x2 et 5y9

  1. Encadrer les expressions suivantes :

x+y         ;         x-yx×y         ;         xy

 


VI- Exercices

 

6-3/ Exercice 3

Soient a et b avec a]0;1[ et b=1+a2

  1. Montrer que 12<b<1
  1. Montrer que b-1=a-121+a
  1. En déduire que b-1<12a-1
  1. Déduire une valeur approchée de 1+0,62 à 2×10-1 prés.

 


VI- Exercices

 

6-4/ Exercice 4

Soit x.

On pose E=11+x2.

  1. Montrer que E-1=-x21+x2+1+x2
  1. Montrer que x2+1+x2+12
  1. Déduire que E-112x2
  1. Déterminer une valeur approchée de 11,0004 à 2×10-4 prés.

 


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