Mathématiques : Troc Commun Sciences

Séance 2 (Arithmétique dans IN)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Nombres pairs – Nombres impairs

1-1/ Définition

1-2/ Remarques

II- Critères de divisibilité

III- Nombres premiers

3-1/ Nombres premiers

3-2/ Test de primalité

IV- Décomposition en facteurs premiers

4-1/ Définition

4-2/ Théorème

V- Diviseurs d’un entier naturel – Plus Grand Commun Diviseur de a et b (pgcd (a,b))

5-1/ Définition

5-2/ Théorème

5-3/ Entiers premiers entre eux

VI- Multiples d’un entier naturel – Plus Petit Commun Multiple de a et b (ppcm (a;b))

6-1/ Définition

6-2/ Théorème

6-3/ Remarques

VII- Division euclidienne dans

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

 


I- Nombres pairs – Nombres impairs

 

1-1/ Définition

Soit n de .

Si n est divisible par 2, c’est un nombre pair.

Si non n est impair.

Exemple

 


I- Nombres pairs – Nombres impairs

 

1-2/ Remarques

nn est pair équivaut qu’il existe k tel que n=2k.

n, n est impair équivaut qu’il existe k tel que n=2k+1.

0 (zéro) est un nombre pair (car 2 divise 0).

1 (un) est un nombre impair.

 


II- Critères de divisibilité

 

Un nombre naturel est divisible par :

  • 2 si le chiffre d’unité est pair.
  • 3 si la somme des chiffres est divisible par 3.
  • 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres (chiffres d’unité et de dizaine) est divisible par 4.
  • 5 si le chiffre d’unité est 0 ou 5.
  • 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres (chiffres d’ unité et de dizaine et de centaine) est divisible par 8.
  • 9 si la somme des chiffres est divisible par 9.
Exemples

 


III- Nombres premiers

 

3-1/ Nombres premiers

Un entier naturel p2 est dit premier, si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et lui même (ou encore a juste deux diviseurs positifs).

Un entier naturel différent de 1 qui n’est pas premier est appelé nombre composé.

Exemple

 


III- Nombres premiers

 

3-2/ Test de primalité 

Pour étudier la primalité d’un nombre entier naturel n ; on cherche tous les nombres premiers p qui vérifient pn. Si n est divisible par l’un de ces nombres alors  n n’est pas un nombre premier sinon n  est premier.

exemple : 

.

 


IV- Décomposition en facteurs premiers

 

4-1/ Définition

a*\1

a s’écrit sous la forme d’un produit de plusieurs facteurs des nombres premiers qu’on appelle décomposition en facteurs premiers du nombre a.

Exemple

 


IV- Décomposition en facteurs premiers

 

4-2/ Théorème

a*\1

α1,α2,....αn sont des nombres entiers non nuls.

Il existe des nombres premiers distincts deux à deux p1,p2,....pn tel que a se décompose de façon unique sous la forme : a=p1α1×p2α2×....×xαn.

Exemple

 


V- Diviseurs d’un entier naturel – Plus Grand Commun Diviseur de a et b (pgcd (a,b))

 

5-1/ Définition

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.

Le plus grand commun diviseur de a et b est noté par pgcd(a,b) ou ab.

Exemple

 


V- Diviseurs d’un entier naturel – Plus Grand Commun Diviseur de a et b (pgcd (a,b))

 

5-2/ Théorème

pgcd(a,b)[ Le plus grand commun diviseur de a et b supérieurs ou égaux à 2 ] est le produit des facteurs premiers communs à a et b munis du plus petit des exposants trouvés dans la décomposition en facteurs premiers de a et b.

Exemple

 


V- Diviseurs d’un entier naturel – Plus Grand Commun Diviseur de a et b (pgcd (a,b))

 

5-3 Entiers premiers entre eux

Deux entiers a et b sont premiers entre eux (ou étranger ) si ab=1 (pgcd(a,b)=1)

Exemple

 


VI- Multiples d’un entier naturel – Plus Petit Commun Multiple de a et b (ppcm (a;b))

 

6-1/ Définition

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.

Le plus petit commun multiple de a et b est noté par ppcm(a,b) ou ab.

Exemple

 


VI- Multiples d’un entier naturel – Plus Petit Commun Multiple de a et b (ppcm (a;b))

 

6-2/ Théorème

ppcm(a,b) [ Le plus petit commun multiple de a et b supérieurs ou égaux à 2 ] est le produit de tous les facteurs premiers communs et non communs de a et b munis du plus grand des exposants trouvés dans la décomposition en facteurs premiers de a et b.

Exemple

 


VI- Multiples d’un entier naturel – Plus Petit Commun Multiple de a et b (ppcm (a;b))

 

6-3/ Remarques

pgcd(a,b)=pgcd(b,a)

pgcd(1,a)=1

pgcd(a,a)=a

ppcm(a,b)=ppcm(b,a)

ppcm(1,a)=a

ppcm(a,a)=a

pgcd(a,b)*ppcm(a,b)=a*b

 


VII- Division euclidienne dans

 

Soient a et b deux entiers naturels b>0.

Il existe un couple unique d’entiers naturels (q,r) tels que a=bq+r0r<b

  • q est appelé le quotient.
  • r le reste.
  • a est le dividende et b le diviseur de la division euclidienne de a par b.
Exemple

 


IIX- Exercices

 

8-1/ Exercice 1

1- Soient a et b deux entiers naturels pairs, étudier la parité de a+b, a×b et a(a+1).

2-  Soit n, on pose A=2a-3 et  B=4a+2, étudier la parité de A et B.

3- Soit n, étudier la parité de : 

 a=2n+1+27b= 4n²+8n+13c=n²+5n+3d=n(n+1)(n²+5n+3) 

 

 


IIX- Exercices

 

8-2/ Exercice 2

1- Déterminer a tel que 5a74 soit divisible par 3.

2- 

   a- Déterminer les diviseurs de 12.

   b- déterminer les entiers naturiels x et y tq x+3y+2=12

   

 

 


IIX- Exercices

 

8-3/ Exercice 3

Parmi les nombres de la liste ci-dessous déterminer ceux qui sont des nombres premiers :

 101 -  239 – 387 – 700107

 

 


IIX- Exercices

 

8-4/ Exercice 4

On pose a=156 et b=495

1- Décomposer a et b.

2- Déterminer le pgcd(a;b) et ppcm(a;b).

3- vérifier que  pgcd(a;b) × ppcm(a;b)=a×b

 


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