Séance 2-2-2 : Suites numériques - Partie 2 (Exercices)

Sommaire

V- Exercices II

5-1/ Exercice 2-1

5-2/ Exercice 2-2

5-3/ Exercice 2-3

5-4/ Exercice 2-4

V- Exercices II

5-1/ Exercice 2-1

Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^3-5n^2-6n+7\right) \\ \overline{)2} \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^2-5n+2}{4-n^3} \\ \overline{)3} \underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{n^3-n+4}-n\right) \\ \overline{)4} \underset{n\to +\infty }{\lim }Arc\tan \sqrt[3]{n+6} \\ \overline{)5} \underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}\right) \\ \overline{)6} \underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^{\frac{2}{3}}-n^{\frac{1}{3}}\right) \\ \overline{)7} \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^{\frac{3}{5}}+n^{\frac{6}{7}}}{n^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{4}{9}}} \end{gathered}$$

V- Exercices II

5-2/ Exercice 2-2

Calculer la limite de chacune des suites suivantes :

V- Exercices II

5-3/ Exercice 2-3

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$ et $u_{n+1}=\sqrt[3]{\frac{1+{u_n}^3}{8}}$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Montrer que  $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n>\sqrt[3]{\frac{1}{7}}$

2. En déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \frac{u_{n+1}}{u_n}<1$

3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

On pose pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : $v_n=\frac{7}{8}{u_n}^3-\frac{1}{8}$

4. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

5. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis donner $lim\left(u_n\right)$.

V- Exercices II

5-4/ Exercice 2-4

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=\frac{8\left(u_n-1\right)}{u_n+2}$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Montrer que  $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 2<u_n<4$

2. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$ puis en déduire qu’elle est convergente.

3. Montrer que  $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 4-u_{n+1}\le \frac{4}{5}\left(4-u_n\right)$

4. En déduire que  $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 4-u_n\le {\left(\frac{4}{5}\right)}^n$. Puis déterminer $lim\left(u_n\right)$.

On pose pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : $v_n=\frac{u_n-4}{u_n-2}$.

5. Établir que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

6. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

7. Retrouver la valeur de la limite de $\left(u_n\right)$.

On pose pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ : $S_n=v_0+v_1+...+v_{n-1}$.

8. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$, puis conclure $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.