Séance 3-1-1 : Dérivation et étude des fonctions - Partie 1 (Cours)

Sommaire

I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)

1-1/ Dérivabilité d'une fonction en un point

1-2/ Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche

1-3/ Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

1-4/ Opérations sur les fonctions dérivables

II- Compléments sur la dérivation

2-1/ Dérivabilité et continuité

2-2/ Dérivée de la fonction composée

2-3/ Dérivée de la fonction réciproque

2-4/ Dérivée de la fonction arctangente

2-5/ Dérivée de la fonction racine $n^{ième}$

I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)

1-1/ Dérivabilité d'une fonction en un point

Définition 1

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un élément de $I$.

On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ s'il existe un réel $t$ tel que : $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=t$

Le nombre $t$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_0$. Il est noté $f\text{'}\left(x_0\right)$.

I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)

1-1/ Dérivabilité d'une fonction en un point

Remarques

On trouve parfois, notamment en physique, la notation $\frac{df}{dx}\left(x_0\right)$ pour le nombre dérivé de $f$ en $x_0$.

On trouve également, la notation $\dot{f}\left(x_0\right)$, lorsque la variable désigne le temps.

Un simple changement d'écriture montre, en s'appuyant sur la composition des limites, que $f$ est dérivable en $x_0$ si la fonction $h\mapsto \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$ a une limite finie en $0$, et alors :

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$

La notion de dérivabilité, étant définie à l'aide d'une limite, est une notion locale.

I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)

1-1/ Dérivabilité d'une fonction en un point

Définition 2

Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$.

La droite $\left(T\right)$ d’équation $y=f\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$ est appelée la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ au point d’abscisse $x_0$.

La fonction $x\mapsto f\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$ s'appelle l'approximation affine de $f$ au voisinage de $x_0$.

On écrit alors : $f\left(x\right)=f\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$ au voisinage de $x_0$ ou $f\left(x_0+h\right)=hf\text{'}\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)$ au voisinage de $0$.

I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)

1-1/ Dérivabilité d'une fonction en un point

Proposition 1

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un élément de $I$.

La fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement s'il existe $\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ}$ et une fonction $\phi :I\to \mathrm{ℝ}$ tels que :

$\left(\forall x\in I\right) f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\mathcal{l}\left(x-x_0\right)+\left(x-x_0\right)\phi \left(x\right)$ et $\underset{x\to x_0}{\lim }\phi \left(x\right)=0$

Dans ces conditions : $f\text{'}\left(x_0\right)=\mathcal{l}$

I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)

1-2/ Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche

Définition 3

1- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $[x_0,x_0+r[$ où $r\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$.

On dit que $f$ est dérivable à droite de $x_0$ s’il existe un réel ${\mathcal{l}}_1$ tel que :

$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}={\mathcal{l}}_1$

Le nombre ${\mathcal{l}}_1$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à droite en $x_0$. Il est noté $f{\text{'}}_d\left(x_0\right)$.

2- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $]x_0-r,x_0]$ où $r\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$.

On dit que  est dérivable à gauche de $x_0$ s’il existe un réel ${\mathcal{l}}_2$ tel que :

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}={\mathcal{l}}_2$

Le nombre ${\mathcal{l}}_2$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à gauche en $x_0$. Il est noté $f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$.

I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)

1-2/ Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche

Proposition 2

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un élément de $I$.

La fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$, avec $f{\text{'}}_d\left(x_0\right)=f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$,et alors : $f\text{'}\left(x_0\right)=f{\text{'}}_d\left(x_0\right)=f{\text{'}}_g\left(x_0\right)$

I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)

1-3/ Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

Définition 4

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$.

On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point $x$ de $I$.

On note $f\text{'}$ la fonction qui à $x\in I$ associe le nombre dérivée de $f$ en $x$.

On l'appelle la fonction dérivée de $f$, ou plus simplement la dérivée de $f$.

On écrit aussi : $f\text{'}=\frac{df}{dx}$

I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)

1-3/ Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle

Tableau des dérivées usuelles

I- Dérivabilité d’une fonction numérique (rappels)

1-4/ Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition 3

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $\alpha \in \mathrm{ℝ}$. Alors :

$$\begin{gathered} \left(f+g\right)\text{'}=f\text{'}+g\text{'} \\ \left(\alpha f\right)\text{'}=\alpha f\text{'} \\ \left(f.g\right)\text{'}=f\text{'}.g+f.g\text{'} \\ \left(f^n\right)\text{'}=n.f\text{'}.f^{n-1} \end{gathered}$$

Si la fonction $g$ ne s’annule pas sur $I$, alors :

${\left(\frac{1}{g}\right)}^{\text{'}}=-\frac{g\text{'}}{g^2} ; {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\text{'}.g-f.g\text{'}}{g^2}$

Enfin, si $f$ est strictement positive sur $I$, alors :

${\left(\sqrt{f}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\text{'}}{2\sqrt{f}}$

II- Compléments sur la dérivation

2-1/ Dérivabilité et continuité

Proposition 4

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un élément de $I$.

Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $f$ est continue en $x_0$.

II- Compléments sur la dérivation

2-1/ Dérivabilité et continuité

Remarques

Une conséquence immédiate de la proposition 4 est la suivante :

Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

La réciproque de la proposition 4 est fausse. Par exemple, la fonction $x\mapsto \left|x\right|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0.

II- Compléments sur la dérivation

2-2/ Dérivée de la fonction composée

Proposition 5

Soit $I$ et $J$ deux intervalles ouverts, et $f:I\to \mathrm{ℝ}$ et $g:J\to \mathrm{ℝ}$ deux fonctions numériques, avec $f\left(I\right)\subset J$.

Soit $x_0$ un élément de $I$.

Si :

• la fonction $f$ est dérivable en $x_0$.
• la fonction $g$ est dérivable en $y_0=f\left(x_0\right)$.

alors la fonction $g\circ f$ est dérivable en $x_0$, et de plus :

$\left(g\circ f\right)\text{'}\left(x_0\right)=g\text{'}\left(f\left(x_0\right)\right)\times f\text{'}\left(x_0\right)$

II- Compléments sur la dérivation

2-2/ Dérivée de la fonction composée

Corollaire

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ est dérivable sur un intervalle $J$ tel que $f\left(I\right)\subset J$, alors $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et de plus, pour tout $x\in I$ : $\left(g\circ f\right)\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)\times g\text{'}\left(f\left(x\right)\right)$.

II- Compléments sur la dérivation

2-3/ Dérivée de la fonction réciproque

Proposition 6

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$, et $x_0\in I$.

Si $f$ est dérivable en $x_0$ avec $f\text{'}\left(x_0\right)\ne 0$, alors la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $y_0=f\left(x_0\right)$, et de plus :

${\left(f^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(y_0\right)=\frac{1}{f\text{'}\left(x_0\right)}$

II- Compléments sur la dérivation

2-3/ Dérivée de la fonction réciproque

Corollaire

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$.

Si $f$ est dérivable sur $I$ telle que la fonction $f\text{'}$ ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur $J=f\left(I\right)$.

De plus, on a pour tout $x\in J$ :

${\left(f^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{f\text{'}\left(f^{-1}\left(x\right)\right)}$

II- Compléments sur la dérivation

2-4/ Dérivée de la fonction arctangente

Proposition 7

La fonction Arctan est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$, et on a pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ : $Arc\tan \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}$

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $x\mapsto Arc\tan \left(u\right(x\left)\right)$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par :

$x\mapsto \frac{u\text{'}\left(x\right)}{1+u^2\left(x\right)}$

II- Compléments sur la dérivation

2-5/ Dérivée de la fonction racine $n^{ième}$

Proposition 8

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

La fonction $x\mapsto \sqrt[n]{x}$ est dérivable sur ${\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$ et on a pour tout $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$ :

${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^{\text{'}}={\left(x^{\frac{1}{n}}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n.\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$, alors la fonction $x\mapsto \sqrt[n]{u\left(x\right)}$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par :

${\left(\sqrt[n]{u\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{n}u\text{'}\left(x\right)u{\left(x\right)}^{\frac{1}{n}-1}=\frac{u\text{'}\left(x\right)}{n.{\left(\sqrt[n]{u\left(x\right)}\right)}^{n-1}}$

II- Compléments sur la dérivation

2-5/ Dérivée de la fonction racine $n^{ième}$

Proposition 9

Soit $r$ un nombre rationnel non nul.

La fonction $x\mapsto x^r$ est dérivable sur ${\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$, et sa dérivée est la fonction $x\mapsto r.x^{r-1}$.

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$, alors la fonction $x\mapsto {\left(u\left(x\right)\right)}^r$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par :

${\left({\left(u\left(x\right)\right)}^r\right)}^{\text{'}}=r.u\text{'}\left(x\right).{\left(u\left(x\right)\right)}^{r-1}$