Séance 1-4 : Limites et continuité - Problème de synthèse

Sommaire

IX- Problème de synthèse

9-1/ Partie 1

9-2/ Partie 2

9-3/ Partie 3

IX- Problème de synthèse

9-1/ Partie 1

1. Montrer que :

$\forall x\in ]-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}[ ; \frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{1+\tan \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}{1-\tan \left(\frac{x}{2}\right)}$

2. a- Montrer que pour tout $a\in [0;+\infty [$ :

$Arc\tan \left(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\frac{1}{2}Arc\tan \left(\sqrt{a}\right)$

2. b- En déduire que :

$\tan \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right)=2+\sqrt{3}$

IX- Problème de synthèse

9-2/ Partie 2

Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(1-\sqrt[3]{x^{-2}}\right)\left(Arc\tan \left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \overline{)2} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{Arc\tan \left(1-\sqrt[3]{x^2}\right)-\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{x} \\ \overline{)3} \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt[4]{2-x}-\sqrt[6]{2-x}}{\sqrt[3]{2-x}-\sqrt{2-x}} \\ \overline{)4} \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x}-\left(x+1\right)\right)Arc\tan \left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right) \end{gathered}$$

IX- Problème de synthèse

9-3/ Partie 3

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ;\frac{\mathrm{\pi }}{2}[$ par :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt[3]{1-x}+x-1 si x<0\\ f\left(x\right)=Arc\tan \left(\sqrt[3]{x}+\tan x\right) si x\in [0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}[\end{array}\right.$

1. Montrer que la fonction $f$ est continue en $0$.

2. Calculer les limites suivantes :

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x} ; \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x} ; \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right) ; \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$

Soit $g$ la restriction de $f$ à l’intervalle $I=[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}[$.

3. Montrer que $g$ est strictement croissante sur $I$.

4. Montrer que $g$ est une bijection de $I$ sur $I$.

On note $g^{-1}$ la fonction réciproque de $g$.

5. Résoudre dans $I$ l'équation $g^{-1}\left(x\right)=x$.

6. Montrer que $\left(\forall x\in I\right) g^{-1}\left(x\right)\le x$.