Mathématiques : 2ème Année Collège

Séance 14 (Vecteurs et translation)

 

 

Professeur : Mr BENGHANI Youssef

 


Sommaire

 

I- Vecteurs

1-1/ Vecteur non nul

1-2/ Vecteur nul

1-3/ Égalité de deux vecteurs

1-4/ L’opposé d’un vecteur non nul

1-5/ Relation de Chasles

1-6/ Somme de deux vecteurs

1-7/ Vecteur et milieu d'un segment

II- Translation

2-1/ L’image d’un point par une translation

2-2/ Propriété caractéristique

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

 


I- Vecteurs

 

1-1/ Vecteur non nul

Définition

Chaque deux points différents A et B déterminent un vecteur non nul AB d’origine A et d’extrémité B.

Caractéristiques

Chaque vecteur possède trois caractéristiques : La direction, le sens et la norme.

Dans l’exemple suivant du vecteur AB, on a :

  • La direction : c’est la droite (AB).
  • Le sens : c’est de A vers B.
  • La norme : c’est la distance AB.

 


I- Vecteurs

 

1-2/ Vecteur nul

Définition

Chaque point A détermine un vecteur nul AA noté 0.

On écrit : AA=0.

Remarques

La norme d’un vecteur nul est zéro, mais la direction et le sens ne sont pas définis.

Si AB=0, alors : A=B. (c’est-à-dire A et B sont deux points confondus).

 


I- Vecteurs

 

1-3/ Égalité de deux vecteurs

Propriété 1

Dire que deux vecteurs sont égaux signifie qu’ils ont : la même direction, le même sens et la même nonne.

Remarque importante

Même direction signifie que leurs directions sont soit deux droites strictement parallèles, soit deux droites confondues.

Exemple

 


I- Vecteurs

 

1-3/ Égalité de deux vecteurs

Propriété 2

Soit AB et CD deux vecteurs non nuls.

AB=CD est équivalent à ABDC est un parallélogramme.

Exemple

 


I- Vecteurs

 

1-4/ L’opposé d’un vecteur non nul

Propriété

L’opposé d’un vecteur non nul AB est le vecteur -AB, noté : BA.

On écrit : -AB=BA

 


I- Vecteurs

 

1-5/ Relation de Chasles

Propriété

Si A, B et C sont trois points distincts, alors : AB+BC=AC.

Exemples

Simplifions les écritures suivantes :

AB+BC+CA=AC-BC+BE=AB+ED+BE+DC=

 


I- Vecteurs

 

1-6/ Somme de deux vecteurs

Propriété

ABCD est un parallélogramme équivalent à : AC=AB+AD.

Exemple

 


I- Vecteurs

 

1-7/ Vecteur et milieu d'un segment

Propriété

Soient AB un segment et E un point.

E est milieu du segment AB est équivalent à : AE=EB.

Exemple

 


II- Translation

 

2-1/ L’image d’un point par une translation

Exemple

Soient A, B et M trois point non alignés.

Construisons le point M' tel que : AB=MM'

AB=MM' signifie que : ABM'M est un parallélogramme.

On appelle M' Limage du point M par ta translation de vecteur AB (ou la translation qui transforme A en B).

 


II- Translation

 

2-1/ L’image d’un point par une translation

Définition

Soient AB un vecteur non nul et M un point.

On appelle M' l’image du point M par ta translation de vecteur AB (ou la translation qui transforme A en B) tel que : AB=MM'.

Ce qui signifie que : ABM'M est un parallélogramme.

 


II- Translation

 

2-2/ Propriété caractéristique

Si A' et B' sont les images respectives des points A et B par une translation, alors : A'B'=AB.

 


III- Exercices

 

3-1/ Exercice 1

 

 


III- Exercices

 

3-2/ Exercice 2

 

 


III- Exercices

 

3-3/ Exercice 3

 

 


III- Exercices

 

3-4/ Exercice 4

 

 


III- Exercices

 

3-5/ Exercice 5

 

 


Affichage en Diaporama