Séance 14 - Vecteurs et translation

Sommaire

I- Vecteurs

1-1/ Vecteur non nul

1-2/ Vecteur nul

1-3/ Égalité de deux vecteurs

1-4/ L’opposé d’un vecteur non nul

1-5/ Relation de Chasles

1-6/ Somme de deux vecteurs

1-7/ Vecteur et milieu d'un segment

II- Translation

2-1/ L’image d’un point par une translation

2-2/ Propriété caractéristique

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

3-7/ Exercice 7

I- Vecteurs

1-1/ Vecteur non nul

Définition

Chaque deux points différents $A$ et $B$ déterminent un vecteur non nul $\overrightarrow{AB}$ d’origine $A$ et d’extrémité $B$.

Caractéristiques

Chaque vecteur possède trois caractéristiques : La direction, le sens et la norme.

Dans l’exemple suivant du vecteur $\overrightarrow{AB}$, on a :

• La direction : c’est la droite $\left(AB\right)$.
• Le sens : c’est de $A$ vers B.
• La norme : c’est la distance $AB$.

I- Vecteurs

1-2/ Vecteur nul

Définition

Chaque point $A$ détermine un vecteur nul $\overrightarrow{AA}$ noté $\overrightarrow{0}$.

On écrit : $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

Remarques

La norme d’un vecteur nul est zéro, mais la direction et le sens ne sont pas définis.

Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$, alors : $A=B$. (c’est-à-dire $A$ et $B$ sont deux points confondus).

I- Vecteurs

1-3/ Égalité de deux vecteurs

Propriété 1

Dire que deux vecteurs sont égaux signifie qu’ils ont : la même direction, le même sens et la même nonne.

Remarque importante

Même direction signifie que leurs directions sont soit deux droites strictement parallèles, soit deux droites confondues.

Exemple

I- Vecteurs

1-3/ Égalité de deux vecteurs

Propriété 2

Soit $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ deux vecteurs non nuls.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ est équivalent à $ABDC$ est un parallélogramme.

Exemple

I- Vecteurs

1-4/ L’opposé d’un vecteur non nul

Propriété

L’opposé d’un vecteur non nul $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur $-\overrightarrow{AB}$, noté : $\overrightarrow{BA}$.

On écrit : $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$

I- Vecteurs

1-5/ Relation de Chasles

Propriété

Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points distincts, alors : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Exemples

Simplifions les écritures suivantes :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \\ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}= \\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DC}= \end{gathered}$$

I- Vecteurs

1-6/ Somme de deux vecteurs

Propriété

$ABCD$ est un parallélogramme équivalent à : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Exemple

I- Vecteurs

1-7/ Vecteur et milieu d'un segment

Propriété

Soient $\left[AB\right]$ un segment et $E$ un point.

$E$ est milieu du segment $\left[AB\right]$ est équivalent à : $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EB}$.

Exemple

II- Translation

2-1/ L’image d’un point par une translation

Exemple

Soient $A$, $B$ et $M$ trois point non alignés.

Construisons le point $M\text{'}$ tel que : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MM\text{'}}$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MM\text{'}}$ signifie que : $ABM\text{'}M$ est un parallélogramme.

On appelle $M\text{'}$ Limage du point $M$ par ta translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ (ou la translation qui transforme $A$ en $B$).

II- Translation

2-1/ L’image d’un point par une translation

Définition

Soient $\overrightarrow{AB}$ un vecteur non nul et $M$ un point.

On appelle $M\text{'}$ l’image du point $M$ par ta translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ (ou la translation qui transforme $A$ en $B$) tel que : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MM\text{'}}$.

Ce qui signifie que : $ABM\text{'}M$ est un parallélogramme.

II- Translation

2-2/ Propriété caractéristique

Si $A\text{'}$ et $B\text{'}$ sont les images respectives des points $A$ et $B$ par une translation, alors : $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\overrightarrow{AB}$.

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

$A$, $B$ et $C$ sont trois point non alignés.

1. Construire les vecteurs suivants :

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

Soit la figure suivante :

1. Relever les vecteurs égaux à $\overrightarrow{AB}$.

2. Relever les vecteurs égaux à $\overrightarrow{AD}$.

3. Construire le point $M$ défini par $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BE}$.

4. Déduire la nature du quadrilatère $BCME$.

5. Montrer que $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EM}$.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

1. Compléter les phrases suivante :

Quand $ABNM$ est un parallélogramme alors :

• $N$ est l'image de $M$ par la translation ______ .
• $N$ est l'image de $B$ par la translation ______ .
• L'image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est ______ .
• $A$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur ______ .
• Par la translation de vecteur $\overrightarrow{MB}$, $B$ est l'image de ______ .
• $\overrightarrow{A...}=\overrightarrow{...N}$ et $\overrightarrow{B...}=\overrightarrow{N...}$ et $\overrightarrow{M...}=\overrightarrow{....A } + \overrightarrow{M...}$ et $\overrightarrow{N...}=\overrightarrow{...A}$.

Si $D$ est l'image du point $B$ par la translation qui transforme $A$ en $C$, alors :

• Le quadrilatère ______ est un parallélogramme.
• L'image de $B$ par la translation qui transforme $D$ en $C$ est ______ .
• L'image de $C$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ est ______ .

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

Soit $ABCD$ un parallélogramme et $M$ un point du plan.

1. Construire $K$ l’image de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.

2. Construire $P$ l’image de $K$ par la translation qui transforme $A$ en $D$.

3. Montrer que $P$ est l'image de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $C$.

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

$ABC$ est un triangle.

1. Construire les points $D$ et $E$ tels que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.

2. Montrer que $C$ est le milieu de $\left[DE\right]$.

III- Exercices

3-6/ Exercice 6

1. Simplifier les écritures suivantes :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}= \\ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}= \\ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}= \\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}= \\ \overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{EC}= \\ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{EM}-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{EC}= \\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{ED}= \end{gathered}$$

III- Exercices

3-7/ Exercice 7

$ABCD$ est un losange de centre $I$.

1. Constater que $C$ est l'image de $D$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.

2. Construire $J$ l'image de $I$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.

3. Construire le point $K$ tel que $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$.

4. Montrer que $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{DC}$.

5. En déduire que $K$ est i'image de $B$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.