Séance 26A - Aspects énergétiques des oscillateurs mécaniques (Pendule élastique)

Sommaire

I- Travail de la tension d’un ressort

1-1/ Travail d’une force constante

1-2/ Travail de la tension d'un ressort

II- Étude énergétique du pendule élastique

2-1/ L’énergie cinétique

2-2/ L’énergie potentielle

2-3/ Conservation de l'énergie mécanique

2-4/ Détermination de l'équation différentielle par étude énergétique

III- Diagrammes énergétiques

3-1/ Cas des oscillations sans frottements

3-2/ Cas des oscillations avec frottements

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

I- Travail de la tension d’un ressort

1-1/ Travail d’une force constante

Le travail d'une force constante entre deux points A et B est égale au produit scalaire du vecteur force $\overrightarrow{F}$ par le vecteur déplacement $\overrightarrow{AB}$ :

$\overline{) W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}=F.AB.\cos \alpha }$

avec $W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right)$ en joule (J), $\overrightarrow{F}$ en newton (N), $AB$ en mètre (m) et $\alpha =\widehat{\left(\overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}\right)}$

I- Travail de la tension d’un ressort

1-2/ Travail de la tension d'un ressort

Considérons un ressort de longueur initiale $l_0$ et de constante de raideur $K$ placé sur un plan horizontal :

La tension du ressort. $\overrightarrow{T}=-K.x.\overrightarrow{i}$ n'est pas une force constante.

Pour calculer le travail de cette force on doit considérer le travail élémentaire de cette force $\delta W$ sir un déplacement infiniment petit $\overrightarrow{\delta l}$ sur lequel nous considérerons que la force est constante :

$\delta W=\overrightarrow{T}.\overrightarrow{\delta l}=\overrightarrow{T}.\delta x.\overrightarrow{i}=-K.x.\delta x$

Le travail total de la tension $\overrightarrow{T}$ du ressort lorsque son point d'application se déplace d'un point d'abscisse $x_1$ à un point d'abscisse $x_2$ est la somme des travaux élémentaires, on l'obtient en utilisant le calcul intégral :

$\overline{) W_{x_1\to x_2}\overrightarrow{T}={\int }_{x_1}^{x_2}-Kxdx=\frac{1}{2}K\left({x_1}^2-{x_2}^2\right) }$

II- Étude énergétique du pendule élastique

2-1/ L’énergie cinétique

C’est l’énergie qu’un corps possède du fait de son mouvement, son unité est Joules (J).

Elle est donné par la relation suivante : $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$

II- Étude énergétique du pendule élastique

2-2/ L’énergie potentielle

L'énergie potentielle élastique d'un pendule élastique est l'énergie qu'il possède grâce à la déformation du ressort.

Elle est égale au travail que doit effectuer un opérateur pour le déformer.

Elle est donnée par la relation suivante : $E_{pe}=\frac{1}{2}K.x^2$

II- Étude énergétique du pendule élastique

2-3/ Conservation de l'énergie mécanique

Pendant les oscillations libres non amorties d'un pendule élastique horizontal constitué d'un corps S de masse m et d'un ressort de constante de raideur K, appliquons le théorème de l'énergie cinétique sur le corps S entre un point $M_1$ d'abscisse $x_1$ et un point $M_2$ d'abscisse $x_2$ :

On a :

$$\begin{gathered} {\Delta }_{1\to 2}{E}_c=W_{1\to 2}\overrightarrow{T}=-{\Delta }_{1\to 2}{E}_{pe} \\ \Rightarrow E_{c2}-E_{c1}=-\left(E_{pe2}-E_{pe1}\right) \\ \Rightarrow E_{c2}+E_{pe2}=E_{c1}+E_{pe1} \\ \Rightarrow \overline{)E_{m2}=E_{m1}} \end{gathered}$$

Donc lorsque les frottements sont absents, l’énergie mécanique se conserve.

II- Étude énergétique du pendule élastique

2-4/ Détermination de l'équation différentielle par étude énergétique

Si les frottement sont négligeables, l'énergie mécanique de l'oscillateur est constante :

$$\begin{gathered} \frac{d{E}_m}{dt}=\frac{d{E}_{pe}}{dt}+\frac{d{E}_c}{dt}=0 \\ \Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}K{x}^2+\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2\right)=0 \\ \Rightarrow k.x.\dot{x}+m.\dot{x}.\ddot{x}=0 \\ \Rightarrow \overline{)\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0} \end{gathered}$$

C’est la même équation différentielle obtenue à partir l’étude dynamique.

III- Diagrammes énergétiques

3-1/ Cas des oscillations sans frottements

Dans le cas des oscillations sans frottements l'énergie mécanique de l'oscillateur mécanique est constante :

$E_m=\frac{1}{2}K{x}^2+\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2=Cte$

En représentant la variation $E_{pe}$, $E_c$ et $E_m$ en fonction de $x$ on obtient le diagramme suivant :

En représentant la variation $E_{pe}$, $E_c$ et $E_m$ en fonction du temps on obtient le diagramme suivant :

III- Diagrammes énergétiques

3-2/ Cas des oscillations avec frottements

Dans le cas des oscillations avec frottements l'énergie mécanique de l'oscillateur mécanique diminue jusqu'à ce qu'elle s'annule :

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

On relie un corps solide $S_2$, de masse $m_2=182g$, à un ressort à spires non jointive, de masse négligeable et de raideur $K$, et on fixe l’autre bout du ressort à un support fixe :

Le corps $S_2$ peut glisser sans frottement sur un plan horizontal.

On écarte le corps $S_2$ de sa position d’équilibre de la distance $X_m$, et on le libère sans vitesse initiale.

Pour étudier le mouvement de $G_2$, on choisie le référentiel galiléen $(O,\overrightarrow{i})$ tel que la position de $G_2$ à l’origine des dates est confondue avec l’origine $O$.

On repère la position de $G_2$ à l’instant $t$ par l’abscisse $x$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i})$.

L’équation différentielle du mouvement de $G_2$ s’écrit $\ddot{x}+\frac{K}{m^2}x=0$, et sa solution est de la forme $x\left(t\right)=X_m.\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{T_0}t+\phi \right)$.

L’étude expérimentale du mouvement de $G_2$ a permis d’obtenir le graphe représenté sur la figure suivante :

1. Déterminer en exploitant le graphe les grandeurs suivantes : l’amplitude $X_m$, la période $T_0$ et $\phi$ la phase à l’origine des dates.

2. En déduire la raideur $K$ du ressort.

On choisi le plan horizontal passant par la position de $G_2$ à l’équilibre comme origine de l’énergie potentielle de pesanteur et l’état où le ressort n’est pas déformé comme origine de l’énergie potentielle élastique.

3. Montrer que l’énergie cinétique $E_C$ du corps $S_2$ s’écrit : $E_C=\frac{K}{2}\left({X_m}^2-x^2\right)$

4. Trouver l’expression de l’énergie mécanique du système {corps $S_2$ - ressort} en fonction de $X_m$ et $K$ et en déduire la vitesse $v_{G_2}$ lorsque $G_2$ passe par la position d’équilibre dans le sens positif.

IV- Exercices

4-2/ Exercice 2

Les ressorts se trouvent dans plusieurs appareils mécaniques, comme les voitures et les bicyclettes... et produisent des oscillations mécaniques.

Cette exercice a pour objectif l’étude énergétique d’un système oscillant {corps solide - ressort} dans une position horizontale.

Soit un oscillateur mécanique horizontal composé d’un corps solide $\left(S\right)$ de masse m et de centre d’inertie $G$ fixé à l’extrémité d’un ressort à spires non jointives et de masse négligeable et de raideur $K=10N.m^{-1}$.

L’autre extrémité du ressort est fixée à un support fixe.

Le corps $\left(S\right)$ glisse sans frottement sur le plan horizontal.

On étudie le mouvement de l’oscillateur dans le repère $(O,\overrightarrow{i})$ lié à la Terre et dont l’origine est confondue avec la position de G à l’équilibre de $\left(S\right)$.

On repère la position de $G$ à l’instant $t$ par son abscisse $x$ :

On écarte le corps $\left(S\right)$ horizontalement de sa position d’équilibre dans le sens positif d’une distance $X_0$ et on le libère sans vitesse initiale à l’instant pris comme origine des dates.

On choisie le plan horizontal passant par $G$ comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur, et l’état dans lequel le ressort n’est pas déformé comme référence de l’énergie potentielle élastique.

À l’aide d’un dispositif informatique adéquat, on obtient les deux courbes représentant les variations de l’énergie $E_C$ cinétique et l’énergie potentielle élastique $E_{Pe}$ du système oscillant en fonction du temps :

1. Indiquer parmi les courbes (a) et (b) celle qui représente les variations de l’énergie cinétique $E_C$. Justifier votre réponse.

2. Déterminer la valeur de l’énergie mécanique $E_m$ du système oscillant.

3. En déduire la valeur de la distance $X_0$.

4. En considérant la variation de l’énergie potentielle élastique du système oscillant, trouver le travail $W_{A\to O}\left(\overrightarrow{T}\right)$ de la force de rappel $\overrightarrow{T}$ exercée par le ressort sur $\left(S\right)$ lors du déplacement de $G$ de la position $A$ d’abscisse $x_A=X_0$ vers la position $O$.

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

Un oscillateur mécanique vertical est constitué d’un corps solide $S$ de masse $m=200g$ et d’un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur $K$.

L’une des extrémités du ressort est fixée à un support fixe et l’autre extrémité est liée au solide $S$ :

On se propose d’étudier le mouvement du centre d’inertie $G$ du solide $S$ dans un repère $R(O,\overrightarrow{k})$ lié à un référentiel terrestre supposé galiléen.

On repère la position de $G$ à un instant $t$ par la côte $z$ sur l’axe $(O,\overrightarrow{k})$.

À l’équilibre, $G$ est confondu avec l’origine $O$ du repère $R(O,\overrightarrow{k})$.

On prendra ${\mathrm{\pi }}^2=10$.

Frottements négligeables

On écarte verticalement le solide $S$ de sa position d’équilibre et on l’envoie à l’instant de date $t=0$, avec une vitesse initiale $\overrightarrow{V_0}=V_{0z}\overrightarrow{k}$.

La courbe suivante représente l’évolution de la côte $z\left(t\right)$ du centre d’inertie $G$ :

1. Déterminer, à l’équilibre, l’allongement $\Delta {\mathcal{l}}_0$ du ressort en fonction de $m$, $K$ et de l’intensité de la pesanteur $g$.

2. Établir l’équation différentielle vérifiée par la côte $z$ du centre d’inertie $G$.

La solution de cette équation différentielle s’écrit $z=z_m\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{T_0}t+\phi \right)$, avec $T_0$ la période propre de l’oscillateur.

3. Déterminer la valeur de $K$ et celle de $V_{0z}$.

Frottements non négligeables

On réalise deux expériences en plongeant l’oscillateur dans deux liquides différents.

Dans chaque expérience, on écarte verticalement le solide $S$ de sa position d’équilibre d’une
distance $z_0$ et on l’abandonne sans vitesse initiale à l’instant $t=0$, le solide $S$ oscille alors à l’intérieur du liquide.

Les courbes (1) et (2) de la figure suivante représentent l’évolution de la côte z du centre d’inertie G au cours du temps dans chaque liquide :

4. Associer à chaque courbe le régime d’amortissement correspondant.

On choisit le plan horizontal auquel appartient le point $O$, origine du repère $R(O,\overrightarrow{k})$, comme état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur $E_{pp} (E_{pp}=0)$, et l’état où le ressort est non déformé comme état de référence de l’énergie potentielle élastique $E_{pe} (E_{pe}=0)$.

5. Pour les oscillations correspondant à la courbe (1), trouver à un instant de date $t$, l’expression de l’énergie potentielle $E_p=E_{pp}+E_{pe}$ en fonction de $K$, $z$ et $\Delta \mathcal{l}{\text{'}}_0$ l’allongement du ressort à l’équilibre dans le liquide.

6. Pour les oscillations correspondant à la courbe (1), calculer la variation de l’énergie mécanique de l’oscillateur entre les instants $t_1=0$ et $t_2=0,4s$.