Physique et Chimie : 2ème Année Bac

Séance 26A (Aspects énergétiques des oscillateurs mécaniques – Pendule élastique)

 

 

Professeur : Mr EL GOUFIFA Jihad

 


Sommaire

 

I- Travail de la tension d’un ressort

1-1/ Travail d’une force constante

1-2/ Travail de la tension d'un ressort

II- Étude énergétique du pendule élastique

2-1/ L’énergie cinétique

2-2/ L’énergie potentielle

2-3/ Conservation de l'énergie mécanique

2-4/ Détermination de l'équation différentielle par étude énergétique

III- Diagrammes énergétiques

3-1/ Cas des oscillations sans frottements

3-2/ Cas des oscillations avec frottements

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

 


I- Travail de la tension d’un ressort

 

1-1/ Travail d’une force constante

Le travail d'une force constante entre deux points A et B est égale au produit scalaire du vecteur force F par le vecteur déplacement AB :

 WABF=F.AB=F.AB.cosα 

avec WABF en joule (J), F en newton (N), AB en mètre (m) et α=F.AB^

 


I- Travail de la tension d’un ressort

 

1-2/ Travail de la tension d'un ressort

Considérons un ressort de longueur initiale l0 et de constante de raideur K placé sur un plan horizontal :

La tension du ressort. T=-K.x.i n'est pas une force constante.

Pour calculer le travail de cette force on doit considérer le travail élémentaire de cette force δW sir un déplacement infiniment petit δl sur lequel nous considérerons que la force est constante :

δW=T.δl=T.δx.i=-K.x.δx

Le travail total de la tension T du ressort lorsque son point d'application se déplace d'un point d'abscisse x1 à un point d'abscisse x2 est la somme des travaux élémentaires, on l'obtient en utilisant le calcul intégral :

 Wx1x2T=x1x2-Kxdx=12Kx12-x22 


II- Étude énergétique du pendule élastique

 

2-1/ L’énergie cinétique

C’est l’énergie qu’un corps possède du fait de son mouvement, son unité est Joules (J).

Elle est donné par la relation suivante : Ec=12mv2=12mx˙2

 


II- Étude énergétique du pendule élastique

 

2-2/ L’énergie potentielle

L'énergie potentielle élastique d'un pendule élastique est l'énergie qu'il possède grâce à la déformation du ressort.

Elle est égale au travail que doit effectuer un opérateur pour le déformer.

Elle est donnée par la relation suivante : Epe=12K.x2

 


II- Étude énergétique du pendule élastique

 

2-3/ Conservation de l'énergie mécanique

Pendant les oscillations libres non amorties d'un pendule élastique horizontal constitué d'un corps S de masse m et d'un ressort de constante de raideur K, appliquons le théorème de l'énergie cinétique sur le corps S entre un point M1 d'abscisse x1 et un point M2 d'abscisse x2 :

On a :

Δ12Ec=W12T=-Δ12EpeEc2-Ec1=-Epe2-Epe1Ec2+Epe2=Ec1+Epe1Em2=Em1

Donc lorsque les frottements sont absents, l’énergie mécanique se conserve.

 


II- Étude énergétique du pendule élastique

 

2-4/ Détermination de l'équation différentielle par étude énergétique

Si les frottement sont négligeables, l'énergie mécanique de l'oscillateur est constante :

dEmdt=dEpedt+dEcdt=0ddt12Kx2+12mx˙2=0k.x.x˙+m.x˙.x¨=0x¨+kmx=0

C’est la même équation différentielle obtenue à partir l’étude dynamique.

 


III- Diagrammes énergétiques

 

3-1/ Cas des oscillations sans frottements

Dans le cas des oscillations sans frottements l'énergie mécanique de l'oscillateur mécanique est constante :

Em=12Kx2+12mx˙2=Cte

En représentant la variation EpeEc et Em en fonction de x on obtient le diagramme suivant :

En représentant la variation EpeEc et Em en fonction du temps on obtient le diagramme suivant :

 


III- Diagrammes énergétiques

 

3-2/ Cas des oscillations avec frottements

Dans le cas des oscillations avec frottements l'énergie mécanique de l'oscillateur mécanique diminue jusqu'à ce qu'elle s'annule :

 


IV- Exercices

 

4-1/ Exercice 1

On relie un corps solide S2, de masse m2=182g, à un ressort à spires non jointive, de masse négligeable et de raideur K, et on fixe l’autre bout du ressort à un support fixe :

Le corps S2 peut glisser sans frottement sur un plan horizontal.

On écarte le corps S2 de sa position d’équilibre de la distance Xm, et on le libère sans vitesse initiale.

Pour étudier le mouvement de G2, on choisie le référentiel galiléen (O,i) tel que la position de G2 à l’origine des dates est confondue avec l’origine O.

On repère la position de G2 à l’instant t par l’abscisse x dans le repère (O,i).

L’équation différentielle du mouvement de G2 s’écrit x¨+Km2x=0, et sa solution est de la forme xt=Xm.cos2πT0t+φ.

L’étude expérimentale du mouvement de G2 a permis d’obtenir le graphe représenté sur la figure suivante :

  1. Déterminer en exploitant le graphe les grandeurs suivantes : l’amplitude Xm, la période T0 et φ la phase à l’origine des dates.
  1. En déduire la raideur K du ressort.

On choisi le plan horizontal passant par la position de G2 à l’équilibre comme origine de l’énergie potentielle de pesanteur et l’état où le ressort n’est pas déformé comme origine de l’énergie potentielle élastique.

  1. Montrer que l’énergie cinétique EC du corps S2 s’écrit : EC=K2Xm-x
  1. Trouver l’expression de l’énergie mécanique du système {corps S2 - ressort} en fonction de Xm et K et en déduire la vitesse vG2 lorsque G2 passe par la position d’équilibre dans le sens positif.

 


IV- Exercices

 

4-2/ Exercice 2

Les ressorts se trouvent dans plusieurs appareils mécaniques, comme les voitures et les bicyclettes... et produisent des oscillations mécaniques.

Cette exercice a pour objectif l’étude énergétique d’un système oscillant {corps solide - ressort} dans une position horizontale.

Soit un oscillateur mécanique horizontal composé d’un corps solide S de masse m et de centre d’inertie G fixé à l’extrémité d’un ressort à spires non jointives et de masse négligeable et de raideur K=10N.m-1.

L’autre extrémité du ressort est fixée à un support fixe.

Le corps S glisse sans frottement sur le plan horizontal.

On étudie le mouvement de l’oscillateur dans le repère (O,i) lié à la Terre et dont l’origine est confondue avec la position de G à l’équilibre de S.

On repère la position de G à l’instant t par son abscisse x :

On écarte le corps S horizontalement de sa position d’équilibre dans le sens positif d’une distance X0 et on le libère sans vitesse initiale à l’instant pris comme origine des dates.

On choisie le plan horizontal passant par G comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur, et l’état dans lequel le ressort n’est pas déformé comme référence de l’énergie potentielle élastique.

À l’aide d’un dispositif informatique adéquat, on obtient les deux courbes représentant les variations de l’énergie EC cinétique et l’énergie potentielle élastique EPe du système oscillant en fonction du temps :

  1. Indiquer parmi les courbes (a) et (b) celle qui représente les variations de l’énergie cinétique EC. Justifier votre réponse.
  1. Déterminer la valeur de l’énergie mécanique Em du système oscillant.
  1. En déduire la valeur de la distance X0.
  1. En considérant la variation de l’énergie potentielle élastique du système oscillant, trouver le travail WAOT de la force de rappel T exercée par le ressort sur S lors du déplacement de G de la position A d’abscisse xA=X0 vers la position O.

 


IV- Exercices

 

4-3/ Exercice 3

Un oscillateur mécanique vertical est constitué d’un corps solide S de masse m=200g et d’un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur K.

L’une des extrémités du ressort est fixée à un support fixe et l’autre extrémité est liée au solide S :

On se propose d’étudier le mouvement du centre d’inertie G du solide S dans un repère R(O,k) lié à un référentiel terrestre supposé galiléen.

On repère la position de G à un instant t par la côte z sur l’axe (O,k).

À l’équilibre, G est confondu avec l’origine O du repère R(O,k).

On prendra π2=10.

Frottements négligeables

On écarte verticalement le solide S de sa position d’équilibre et on l’envoie à l’instant de date t=0, avec une vitesse initiale V0=V0zk.

La courbe suivante représente l’évolution de la côte z(t) du centre d’inertie G :

  1. Déterminer, à l’équilibre, l’allongement Δl0 du ressort en fonction de mK et de l’intensité de la pesanteur g.
  1. Établir l’équation différentielle vérifiée par la côte z du centre d’inertie G.

La solution de cette équation différentielle s’écrit z=zmcos2πT0t+φ, avec T0 la période propre de l’oscillateur.

  1. Déterminer la valeur de K et celle de V0z.
Frottements non négligeables

On réalise deux expériences en plongeant l’oscillateur dans deux liquides différents.

Dans chaque expérience, on écarte verticalement le solide S de sa position d’équilibre d’une
distance z0 et on l’abandonne sans vitesse initiale à l’instant t=0, le solide S oscille alors à l’intérieur du liquide.

Les courbes (1) et (2) de la figure suivante représentent l’évolution de la côte z du centre d’inertie G au cours du temps dans chaque liquide :

  1. Associer à chaque courbe le régime d’amortissement correspondant.

On choisit le plan horizontal auquel appartient le point O, origine du repère R(O,k), comme état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur Epp (Epp=0), et l’état où le ressort est non déformé comme état de référence de l’énergie potentielle élastique Epe (Epe=0).

  1. Pour les oscillations correspondant à la courbe (1), trouver à un instant de date t, l’expression de l’énergie potentielle Ep=Epp+Epe en fonction de Kz et Δl'0 l’allongement du ressort à l’équilibre dans le liquide.
  1. Pour les oscillations correspondant à la courbe (1), calculer la variation de l’énergie mécanique de l’oscillateur entre les instants t1=0 et t2=0,4s.

 


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