I- Exercice 1 (7 pts)
On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=(x-1x)lnx.
Et soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,→i,→j).
- Montre que H:x→12(lnx)2 est une fonction primitive de la fonction h:x→lnxx.
- Montrer que ∫e1lnxxdx=12.
- En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫e1lnxdx=1.
- Vérifier que f(x)=lnx-lnxx pour tout x de ]0;+∞[.
- Montrer que l’aire de la partie délimité par (Cf) et l’axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e est égale à 0,5cm2
II- Exercice 2 (3 pts)
On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=1x+xlnx.
Et soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,→i,→j).
Soit la fonction F définie sur ]0;+∞[ par F(x)=-x24+(x22+1)lnx
- Montre que F est une fonction primitive de la fonction f sur ]0;+∞[
Dans la figure suivante (Cf) est la courbe représentative de la fonction f et (Δ) est une droite d’équation y=x2.
- Calculer l’aire de la partie hachurée.
III- Exercice 3 (3 pts)
Un sac contient 7 boules indiscernables au toucher : 4 boules rouges et 3 boules vertes.
On tire une boule « b » du sac et on note sa couleur.
- Si b est rouge on la remet dans le sac puis on tire une deuxième boule.
- Si b est verte on ne remet pas la boule dans le sac puis on tire une deuxième boule.
On considère les événements suivants :
A : « obtenir deux boules de même couleur dans les deux tirages »
B : « obtenir une boule rouge dans la deuxième tirage »
- Montre que P(A)=2349 et calculer P(B).
- Les événements A et B sont –t-ils indépendants ? Justifiez votre réponse.
IV- Exercice 4 (7 pts)
Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher : 3 boules vertes, 3 boules rouges et 2 blanches.
On tire simultanément au hasard trois boules du sac.
On considère les événements suivants :
A : « obtenir une boule verte au moins »
B : obtenir une boule verte et deux boules blanches »
- Montrer que P(A)=2328.
- Calculer P(B).
Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules rouges tirées.
- Montrer que p(X=1)=1528.
- Déterminer la loi de probabilité.
- Calculer E(X) l’espérance mathématique et V(X) la variance de la variable aléatoire X.
