Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM

Examen National 2021 Session Rattrapage

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Exercice 1 : Suites numériques (4 pts)

 

Soit un la suite numérique définie par u0=13 et un+1=1+un3-un pour tout n de .

  1. Montrer que pour tout n de : 0<un<1

2)

  1. Montrer que pour tout n de un+1-un=un-123-un.
  1. Montrer que la suite un est convergente.

3) On pose vn=11-un pour tout n de .

  1. Montrer que vn est une suite arithmétique et déterminer sa raison et son premier terme.
  1. Déterminer vn en fonction de n et en déduire que un=n+1n+3 pour tout n de .
  1. Calculer la limite de la suite un.
  1. A partir de quelle valeur de n, a-t-on un10111012 ?

Exercice 2 : Nombres complexes (5 pts)

 

  1. Résoudre dans l’ensemble  des nombres complexes l’équation z2-6z+13=0.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points AB et C d’affixes respectives a=3+2ib=3-2i et c=-1-2i.

  1. Écrire c-ba-b sous forme trigonométrique.
  1. En déduire la nature du triangle ABC.

3) Soit R la rotation de centre B et d’angle π2. Soit M un point du plan d’affixe z et le point M' d’affixe z' l’image de M par R, et soit D le point d’affixe d=-3-4i.

  1. Écrire z' en fonction de z.
  1. Vérifier que C est l’image de A par R.

4)

  1. Montrer que les points A, C et D sont alignés.
  1. Déterminer le rapport de l’homothétie h de centre C et qui transforme A en D.
  1. Déterminer l’affixe m du point E pour que le quadrilatère BCDE soit un parallélogramme.

5)

  1. Montrer que d-am-b est un nombre réel.
  1. En déduire que le quadrilatère ABED est un trapèze isocèle.

Exercice 3 : Fonctions numériques (3 pts)

 

On considère la fonction numérique h définie sur ]0;+[ par : hx=x+lnx

  1. Montrer que la fonction h est strictement croissante sur ]0;+[.
  1. Déterminer h]0;+[.

3)

  1. En déduire que l’équation hx=0 admet une solution unique α sur ]0;+[.
  1. Montrer que 0<α<1.

4)

  1. Vérifier que h1α=α+1α.
  1. En déduire que h1α>2.

 

Problème : Étude de fonctions numériques et calcul intégral (8 pts)

Soit f la fonction numérique définie sur  par fx=2-xe-x+1.

Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1cm)

  1. Calculer limx+fx et interpréter le résultat géométriquement.

2)

  1. Calculer limx-fx.
  1. Montrer que limx-fxx=- et interpréter le résultat géométriquement.

3)

  1. Montrer que pour tout x de : f'x=x-1e-x+1
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

4)

  1. Calculer f"x pour tout x de .
  1. Montrer que la courbe C admet un point d’inflexion d’abscisse 2.
  1. Construire la courbe C dans  le repère (O,i,j) (On  prend f21,25).
  1. Déterminer la valeur minimale de la fonction f et en déduire que pour tout x de : ex-1x.

7)

  1. En utilisant une intégration par parties, calculer 02xe-xdx.
  1. En déduire que 02fxdx=4-e+3e-1.

8) Soit g la restriction de f à l’intervalle ]-;1].

  1. Montrer que g admet une fonction réciproque g-1 définie sur un intervalle J à déterminer.
  1. Construire la courbe représentative de g-1 dans le même repère (O,i,j).
  1. A partir de la courbe représentative de g-1, déterminer limx+g-1xx.