Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Examen National 2019 Session Rattrapage

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Exercice 1 (4,5 pts)

 

Soit unn la suite numérique définie par u0=1 et un+1=un-9un-5 pour tout n de .

  1. Calculer u1 et u2.
  1. Montrer par récurrence que pour tout n de : un<3

3)

  1. Vérifier que pour tout n de : un+1-un=un-325-un
  1. Montrer que unn est une suite croissante.
  1. En déduire que la suite unn est convergente.

5) On pose pour tout n de : vn=-2un+4un-3

  1. Vérifier que v0=-1.
  1. Montrer que vn+1=-un+1un-3.
  1. En déduire que vn est une suite arithmétique de raison 1.

6)

  1. Montrer que pour tout n de : un=3vn+4vn+2
  1. En déduire que pour tout n de : un=3n+1n+1
  1. Calculer limnun

 


Exercice 2 (4 pts)

 

(Les résultats seront donnés sous forme de fraction)

Un sac S1 contient deux boules blanches, une boule rouge et trois boules vertes.

Un autre sac S2 contient une boule blanche, deux boules rouges et une boule verte.

Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

On considère l’expérience suivante : « on tire une boule du sac S1 puis on tire une boule du sac S2 »

On considère les événements suivants :

A : « Les deux boules tirées sont blanches »
B : « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes »

  1. Montrer que pA=112.
  1. Montrer que pB=724 (B est l’événement contraire de B), et en déduire pB.
  1. Calculer pAB.

 


Exercice 3 (11,5 pts)

 

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur ]0;+[ par : fx=1-lnxlnx

Et soit Cf  sa courbe représentative dans un repère orthonormé O;i;j.

  1. Calculer limx0+fx, et interpréter géométriquement le résultat.

2)

  1. Calculer limx+fx.
  1. On admet que limx+lnx2x, Calculer limx+fxx et interpréter géométriquement le résultat.

3)

  1. Montrer que, pour tout x de ]0;+[ : f'x=1x1-2lnx.
  1. Montrer que f est croissante sur ]0;e], et qu’elle est décroissante sur [e;+[.
  1. Calculer fe puis dresser le tableau de variations de f.
  1. Résoudre l’équation fx=0 et en déduire les coordonnées des points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses.
  1. Donner l’équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse x0=1.

4)

  1. Montrer que f"x=1x22lnx-3 pour tout x de ]0;+[.
  1. Montrer que Ae32;-34 est un point d’inflexion de Cf.

5) Dans la figure ci-dessous Cf est la courbe représentative de f, et soit F la fonction définie par Fx=-xlnx2+3xlnx-3x.

  1. Montrer que F est une primitive de f sur ]0;+[.
  1. A partir de la courbe Cf ci-dessous, donner les variations de F sur ]0;+[.
  1. Calculer l’aire de la partie hachurée.

 


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