Math 2Bac SPC-SVT-STE-STM - Examen National 2019 Session Rattrapage

Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (3 pts)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A\left(1,2,2\right)$, $B\left(3,-1,6\right)$ et $C\left(1,1,3\right)$.

1)

1. Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$

2. En déduire que $x-2y-2z+7=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$.

Soient les points $E(5,1,4)$ et $F(-1,1,12)$ et $\left(S\right)$ l'ensemble des points $M$ vérifiant $\overrightarrow{ME}.\overrightarrow{MF}=0$.

2. Montrer que $\left(S\right)$ est la sphère ce centre $\Omega \left(2,1,8\right)$ et de rayon $R=5$.

3)

1. Calculer $d\left(\Omega ,\left(ABC\right)\right)$ la distance du point $\Omega$ au plan $\left(ABC\right)$.

2. En déduire que le plan $\left(ABC\right)$ oupe la sphère $\left(S\right)$ selon un cercle $\left(\Gamma \right)$ de rayon $r=4$.

Exercice 2 : Nombres complexes (3 pts)

1)

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathrm{ℂ}$ des nombres complexes l'équation $z^2-3z+3=0$.

2. On pose $a=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$, écrire a sous forme trigonométrique.

2. On considère le nombre complexe $b=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+i\right)$, vérifier que $b^2=i$.

3. On pose $h=\cos \frac{\mathrm{\pi }}{12}+i\sin \frac{\mathrm{\pi }}{12}$, montrer que $h^4+1=a$.

4) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère le point $B$ d'affixe $b$ et $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

1. Soit $c$ l'affixe du point $C$ image du point $B$ par la rotation $R$. Montrer que $c=ib$

2. En déduire la nature du triangle $OBC$.

Exercice 3 : Calcul des probabilités (3 pts)

Une urne contient 1 boule rouge, 2 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au
toucher.

On tire au hasard successivement et avec remise 3 boules de l'urne.

Soient les événements suivants :

• A : "Les trois boules tirées sont de même couleur".
• B : "Il n' y a aucune boule blanche parmi les boules tirées".
• C : "Il y a exactement deux boules blanches parmi les boules tirées".

1. Montrer que $p\left(A\right)=\frac{1}{6}$ et $p\left(B\right)=\frac{8}{27}$.

2. Calculer $p\left(C\right)$.

Problème : Étude de fonctions numériques, calcul intégral et suites numériques (11 pts)

Partie 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}*$ par $f\left(x\right)=2+8{\left(\frac{x-2}{x}\right)}^2{e}^{x-4}$.

Soit $\left(\mathcal{C}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : $1cm$).

1)

1. Vérifier que $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$ et interpréter le résultat géométriquement.

2. Vérifier que $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et interpréter le résultat géométriquement.

2)

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Montrer que la courbe $\left(\mathcal{C}\right)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.

3)

1. Montrer que $f\text{'}\left(x\right)=\frac{8\left(x-2\right)\left(x^2-2x+4\right)e^{x-4}}{x^3}$ pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}*$.

2. Vérifier que pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}$ : $x^2-2x+4>0$.

100. Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0,2]$ et strictement croissante sur chacun des intervalles $]-\infty ,0[$ et $[2,+\infty [$.

500. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathrm{ℝ}*$.

4. Construire la courbe $\left(\mathcal{C}\right)$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

5)

1. Vérifier que la fonction $H:x\mapsto \frac{1}{x}{e}^{x-4}$ est une fonction primitive de la fonction $h:x\mapsto \frac{x-1}{x^2}{e}^{x-4}$ sur $\left[2,4\right]$.

2. Vérifier que $f\left(x\right)=2+8e^{x-4}-32\frac{\left(x-1\right)}{x^2}{e}^{x-4}$ pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}*$.

100. Calculer l'intégrale ${\int }_2^4{e}^{x-4}dx$

500. Calculer en $c{m}^2$ l'aire du domaine plan limité par $\left(\mathcal{C}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=2$ et $x=4$.

Partie 2

1) On considère la fonction numérique $g$ définie sur $\left[2,4\right]$ par $g\left(x\right)=8\left(x-2\right)e^{x-4}-x^2$.

1. Calculer $g\left(4\right)$.

2. Vérifier que pour tout $x$ de l'intervalle $\left[2,4\right]$ : $g\left(x\right)=-{\left(x-4\right)}^2{e}^{x-4}+x^2\left(e^{x-4}-1\right)$.

100. Vérifier que pour tout $x$ de l'intervalle $\left[2,4\right]$ : $e^{x-4}-1\le 0$, puis en déduire que pour tout x de l'intervalle $\left[2,4\right]$ : $g\left(x\right)\le 0$.

2)

1. Vérifier que pour tout $x$ de l'intervalle $\left[2,4\right]$ : $f\left(x\right)-x=\left(\frac{x-2}{x^2}\right)g\left(x\right)$

2. En déduire que pour tout $x$ de l'intervalle $\left[2,4\right]$ : $f\left(x\right)\le x$

3) Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=3\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{array}\right.$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Montrer par récurrence que $2\le u_n\le 4$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

2. Déterminer la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$ et en déduire qu'elle est convergente

100. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.