Math 2Bac SPC-SVT-STE-STM - Examen National 2019 Session Normale

Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (3 pts)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A\left(1,-1,-1\right)$, $B\left(0,-2,1\right)$ et $C\left(1,-2,0\right)$.

1)

1. Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$

2. En déduire que $x+y+z+1=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$.

Soit $\left(S\right)$ la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+1=0$

2. Montrer que le centre de la sphère $\left(S\right)$ est $\Omega \left(2,-1,1\right)$ et que son rayon est $R=\sqrt{5}$.

3)

1. Calculer $d\left(\Omega ,\left(ABC\right)\right)$ la distance du point $\Omega$ au plan $\left(ABC\right)$.

2. En déduire que le plan $\left(ABC\right)$ oupe la sphère $\left(S\right)$ selon un cercle $\left(\Gamma \right)$ (la détermination du centre et du rayon de $\left(\Gamma \right)$ n'est pas demandée).

Exercice 2 : Nombres complexes (3 pts)

1. Résoudre dans l'ensemble $\mathrm{ℂ}$ des nombres complexes l'équation $z^2-2z+4=0$.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $a=1-i\sqrt{3}$, $b=2+2i$, $c=\sqrt{3}+i$ et $d=-2+2\sqrt{3}$.

1. Vérifier que $a-d=-\sqrt{3}\left(c-d\right)$.

2. En déduire que les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.

On considère $z$ l'affixe d'un point $M$ et $z\text{'}$ l'affixe de $M\text{'}$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $-\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

3. Vérifier que $z\text{'}=\frac{1}{2}az$

4) Soient $H$ l'image du point $B$ par la rotation $R$, $h$ son affixe et $P$ le point d'affixe $p$ tel que $p=a-c$.

1. Vérifier que $h=ip$.

2. Montrer que le triangle $OHP$ est rectangle et isocèle en $O$.

Exercice 3 : Calcul des probabilités (3 pts)

Une urne contient 10 boules: 3 boules vertes, 6 boules rouges et 1 boule noire indiscernables au toucher.

On tire au hasard et simultanément 3 boules de l'urne.

On considère les événements suivants :

• A : « Obtenir 3 boules vertes».
• B : « Obtenir 3 boules de même couleur».
• C : « Obtenir au moins 2 boules de même couleur».

1. Montrer que $p\left(A\right)=\frac{1}{120}$ et $p\left(B\right)=\frac{7}{40}$.

2. Calculer $p\left(C\right)$.

Problème : Étude de fonctions numériques, calcul intégral et suites numériques (11 pts)

Partie 1

Soit la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f\left(x\right)=x+\frac{1}{2}-\ln x+\frac{1}{2}{\left(\ln x\right)}^2$.

Soit $\left(\mathcal{C}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : $1cm$)

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et interpréter géométriquement le résultat.

2)

1. Vérifier que pour tout $x$ de $]0;+\infty [$ : $f\left(x\right)=x+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\ln x-1\right)\ln x$.

2. En déduire que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

100. Montrer que pour tout $x$ de $]0;+\infty [$ : $\frac{{\left(\ln x\right)}^2}{x}=4{\left(\frac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)}^2$ , puis en déduire que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(\ln x\right)}^2}{x}=0$.

500. Montrer que $\left(\mathcal{C}\right)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction asymptotique la droite $\left(\Delta \right)$ d'équation $y=x$.

3)

1. Montrer que pour tout $x$ de $]0;1]$ : $\left(x-1\right)+\ln x\le 0$, et que pour tout $x$ de $[1;+\infty [$ : $\left(x-1\right)+\ln x\ge 0$.

2. Montrer que pour tout $x$ de $]0;+\infty [$ : $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x-1+\ln x}{x}$.

100. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

4)

1. Montrer que $f"\left(x\right)=\frac{2-\ln x}{x^2}$ pour tout $x$ de $]0;+\infty [$.

2. En déduire que $\left(\mathcal{C}\right)$ admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.

5)

1. Montrer que pour tout $x$ de $]0;+\infty [$ : $f\left(x\right)-x=\frac{1}{2}{\left(\ln x-1\right)}^2$, et déduire la position relative de $\left(\mathcal{C}\right)$ et $\left(\Delta \right)$.

2. Construir $\left(\mathcal{C}\right)$ et $\left(\Delta \right)$ dans le même repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

6)

1. Montrer que la fonction $H:x\mapsto x\ln x-x$ est une primitive de la fonction $h:x\mapsto \ln x$ sur $]0;+\infty [$.

2. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que ${\int }_1^e{\left(\ln x\right)}^{2}dx=e-2$.

100. Calculer en $c{m}^2$ l'aire du domaine plan limité par $\left(\mathcal{C}\right)$ et $\left(\Delta \right)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.

Partie 2

Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=1\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{array}\right.$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1)

1. Montrer par récurrence que $1\le u_n\le e$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

2. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

100. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

2. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$