Séance 14 - Fonction linéaire et fonction affine

Sommaire

I- Fonction linéaire

1-1/ Définition

1-2/ Propriété du coefficient d’une fonction linéaire

1-3/ Représentation graphique d'une fonction linéaire

II- Fonction affine

2-1/ Définition

2-2/ Propriété du coefficient d’une fonction affine

2-3/ Représentation graphique d’une fonction affine

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

I- Fonction linéaire

1-1/ Définition

Soit $a$ un nombre réel donné.

Toute relation $f$ qui à tout nombre réel $x$, fait correspondre le nombre réel $ax$, s'appelle fonction linéaire de coefficient $a$, tel que : $f:x\to ax$.

On dit que :

• $x$ est l'antécédent.
• $ax$ est l'image de $x$ par la fonction $f$.

On écrit : $f\left(x\right)=ax$

Remarque

Une fonction linéaire peut être notée : $f$ ou $g$ ou $h$ ....

Exemple

I- Fonction linéaire

1-2/ Propriété du coefficient d’une fonction linéaire

Soit $a$ un nombre réel donné et $x$ un nombre réel quelconque.

Si $f$ est une fonction linéaire de coefficient $a$, alors : $a=\frac{f\left(x\right)}{x}$ et $x\ne 0$.

I- Fonction linéaire

1-3/ Représentation graphique d'une fonction linéaire

Définition

Soit $a$ un nombre réel donné et $x$ un nombre réel quelconque.

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère et qui a pour équation réduite : $y=ax$.

$a$ est ie coefficient directeur de cette droite.

Exemple

I- Fonction linéaire

1-3/ Représentation graphique d'une fonction linéaire

Propriété

Le plan muni d'un repère orthonormé.

Soient $A$ un point et $\left(D\right)$ la représentation graphique d'une fonction linéaire $f$.

$A\in \left(D\right)$ est équivalent à $A\left(x_A;f\left(x_A\right)\right)$ et $y_A=a{x}_A$.

II- Fonction affine

2-1/ Définition

Soient $a$ et $b$ deux nombres quelconques «fixes».

Si à chaque nombre $x$, on peut associer le nombre $ax+b$, alors on définit une fonction affine, que l’on notera $f:x\to ax+b$.

On dit que : $ax+b$ est l’image de $x$ par la fonction $f$ et on écrit : $f\left(x\right)=ax+b$.

Exemple

II- Fonction affine

2-2/ Propriété du coefficient d’une fonction affine

Soit $a$ un nombre réel donné et $x$ et $x\text{'}$ deux nombres réels quelconques.

Si $f$ est une fonction linéaire de coefficient $a$, alors : $a=\frac{f\left(x\right)-f\left(x\text{'}\right)}{x-x\text{'}}$ et $x\ne x\text{'}$.

II- Fonction affine

2-3/ Représentation graphique d’une fonction affine

Définition

Soient $a$ et $b$ un nombre réel donnés, et $x$ et $y$ deux nombres réels.

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, la représentation graphique d’une fonction affine est une droite qui a pour équation réduite : $y=ax+b$.

$a$ est le coefficient directeur de cette droite et $b$ l’ordonnée à l'origine.

Exemple

$f\left(x\right)=2x+1$

Remarque

$M(x;y)$ appartient à la représentation graphique de la fonction affine $f$ si et seulement si $f\left(x\right)=y$.

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

I- Soit la fonction linéaire $f$ tel que $f\left(x\right)=-4x$.

1. Quelle est l'image de $3$ par $f$ ?
2. Quelle est l'image de $-5$ par $f$ ?
3. Quelle est l'image de $\frac{7}{12}$ par $f$ ?
4. Calculer $f(6,5)$.
5. Quel nombre $a$ pour image $-16$ ?
6. Quel nombre a pour image $16$ ?
7. Quel est l’antécédent de $20$ ?
8. Quel est l’antécédent de $-14$ ?

II- On considère la fonction affine $g$ définie par : $g\left(x\right)=-2x+1$.

1. Calculer : $g\left(-5\right)$, $g\left(\frac{3}{2}\right)$ et $g\left(2\right)$.
2. Calculer l’image de $-3$ par $g$.
3. Quelle est l’image de $4$ par $g$ ?
4. Déterminer le nombre dont l’image est $13$.
5. Calculer l’antécédent de $-7$ par $g$.
6. Tracer dans un repère la courbe de $g$.

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

1. Déterminer les fonctions linéaires $g$ et $h$ tel que : $g\left(-3\right)=-15$  et $h\left(3\right)=2$.

Soit $f$ une fonction affine telle que : $f(-1)=-7$ et $f\left(3\right)=5$.

2. Déterminer le coefficient de $f$.

3. Déterminer l’expression de $f$.

4. Sans calcul déterminer la valeur de $\frac{f\left(2021\right)-f\left(1999\right)}{2021-1999}$.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

Soient $f$ une fonction affine et $\left(\Delta \right)$ sa représentation graphique.

$M(-2;3)$ et $N(5;-4)$ sont deux points de la droite $\left(\Delta \right)$.

1. Déterminer le coefficient de $f$.

2. Déterminer l’expression de $f$.

3. Le point $P(9;6)$ appartient-il à $\left(\Delta \right)$ ?

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

On considère $\left(D\right)$ la représentation graphique de la fonction $h$ :

1. Déterminer la nature de la fonction $h$.

2. Déterminer graphiquement :

• a) L’image de $1$ par $h$.
• b) L’antécédent de $-1$ par $h$.
• c) Le nombre dont l’image est $4$ par $h$.

3. Montrer que l’expression de $h$ est : $h\left(x\right)=2x+1$.

4. Résoudre l’équation : $h\left(x\right)=0$.

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

$f$ est une fonction affine tel que $f\left(3\right)-f\left(1\right)=-6$, et sa représentation graphique $\left(D\right)$ passe par le point $A(0;2)$.

1. Déterminer $f\left(x\right)$.

2. Calculer $f\left(1\right)$ et $f\left(-3\right)$.

3. Déterminer $x$ sachant que $f\left(x\right)=-4$.

$\left(L\right)$ est la représentation graphique d’une fonction linéaire $g$.

4. Déterminer $g\left(x\right)$ sachant que $\left(D\right)\parallel \left(L\right)$.

5. Résoudre l’équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

III- Exercices

3-6/ Exercice 6

Sur la figure suivante, la droite $\left(D\right)$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $6$ et coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $-3$ :

1. Quelle est la nature de la fonction $f$ représentée par la droite $\left(D\right)$ ?

2. Vérifier que $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x-3$.

3. Trouver l'expression de la fonction linéaire $g$ sachant que sa courbe coupe la droite $\left(D\right)$ en $A(4 ;-1)$.

On considère la fonction $h$ tel que $h\left(x\right)=-x+3$.

4. Déterminer le nombre $x$ dont l'image par la fonction $h$ est $-1$.

5. En déduire que les représentations graphiques des fonctions $f$, $g$ et $h$ se coupent au point $A(4;-1)$.

6. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$