Séance 13 - Équation d’une droite

Sommaire

I- Équation réduite d’une droite

1-1/ Définition

1-2/ Remarques importantes

1-3/ Condition de l’appartenance d’un point à une droite

1-4/ Tracer une droite dont on connaît l’équation réduite

II- Équation réduite d'une droite définie par deux points

III- Droites parallèles et droites perpendiculaires

3-1/ Droites parallèles

3-2/ Droites perpendiculaires

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

4-5/ Exercice 5

4-6/ Exercice 6

I- Équation réduite d’une droite

1-1/ Définition

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, chaque droite admet une équation réduite de la forme :

$y=mx+p$

• $m$ est appelé : le coefficient directeur (ou la pente) de la droite.
• $p$ est appelé : l'ordonnée à l'origine de la droite.
• $x$ et $y$ sont deux nombres réels.

Exemple

I- Équation réduite d’une droite

1-2/ Remarques importantes

Toute droite qui a pour équation réduite $y=m$ est parallèle à l’axe des abscisse et passe le point de coordonnées $(0,m)$ :

Toute droite qui a pour équation réduite $x=n \left(n\ne 0\right)$  est parallèle à l’axe des ordonnées et passe par le point de coordonnées $(n,0)$ :

I- Équation réduite d’une droite

1-3/ Condition de l’appartenance d’un point à une droite

Soient $\left(\Delta \right)$ une droite d'équation réduite : $y=mx+p$ et $A$ un point.

$y_A=m{x}_A+p$ est équivalent à $A\in \left(\Delta \right)$.

Exemple

I- Équation réduite d’une droite

1-4/ Tracer une droite dont on connaît l’équation réduite

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$.

Traçons la droite $\left(\Delta \right)$ qui a pour équation réduite : $y=2x-1$

On considère le tableau de valeurs suivant :

Donc :

II- Équation réduite d'une droite définie par deux points

Propriété du coefficient directeur

Si $y=mx+p$ est une équation réduite d'une droite $\left(AB\right)$, alors :

$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \left(x_B\ne x_A\right)$

Exemple

III- Droites parallèles et droites perpendiculaires

3-1/ Droites parallèles

Propriété

Soient $m$ et $m\text{'}$ les coefficients directeurs respectifs des droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$.

$\left(D\right)\parallel \left(\Delta \right)$ est équivalents $m=m\text{'}$.

Exemple

III- Droites parallèles et droites perpendiculaires

3-2/ Droites perpendiculaires

Soient $m$ et $m\text{'}$ les coefficients directeurs respectifs des droites $\left(D\right)$ et $\left(\Delta \right)$.

$\left(D\right)\perp \left(\Delta \right)$ est équivalents $m\times m\text{'}=-1$.

Exemple

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

Indiquer dans chacun des cas si le point appartient à la droite :

$$\begin{gathered} \overline{)1} A\left(-2;3\right) et \left(d_1\right) : y=-x+1 \\ \overline{)2} B\left(2;7\right) et \left(d_2\right) : y=3x+2 \\ \overline{)3} C\left(2;1\right) et \left(d_3\right) : y=2 \end{gathered}$$

IV- Exercices

4-2/ Exercice 2

Soit $\left(\Delta \right)$ la droite d'équation : $y=-2x+3$

Calculer les nombres $a$, $b$, $x$ et $m$ sachant que $A(a;-2)$, $B(3;-b)$, $C(x+2;3x)$ et $D\left(-m;-2m+1\right)$ appartiennent à $\left(\Delta \right)$.

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

Déterminer dans chacun des cas l’équation réduite de la droite (AB) :

$$\begin{gathered} \overline{)1} A\left(2;0\right) et B\left(4;1\right) \\ \overline{)2} A\left(-2;1\right) et B\left(-3;5\right) \\ \overline{)3} A\left(-1;5\right) et B\left(-1;2\right) \end{gathered}$$

IV- Exercices

4-4/ Exercice 4

Déterminer l’équation réduite des droites dans chacun des cas :

1. La droite $\left(d_1\right)$ passe par le point $A(2;3)$ et a pour coefficient directeur $m=-1$.

2. La droite $\left(d_2\right)$ passe par le point $B(-1;2)$ et son ordonnée à l’origine est $-3$.

3. La droite $\left(d_3\right)$ passe par le point $C(2;5)$ et est parallèle à la droite d’équation $y=3x-1$.

IV- Exercices

4-5/ Exercice 5

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$, on considère les points $A(1;-1)$, $B(-1;-3)$ et $C(2;1)$.

1. Calculez les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$, puis déduire la distance $AB$.

2. Déterminez les coordonnées du point $M$ le milieu de segment $\left[AB\right]$.

3. Vérifiez que l’équation réduite de la droite $\left(AB\right)$ est : $y=x-2$.

4. Déterminez l’équation réduite de la droite $\left(D\right)$ qui passe par $C$ et qui est parallèle à $\left(AB\right)$.

5. Montrez que l’équation réduite de la médiatrice $\left(\Delta \right)$ du segment $\left[AB\right]$ est $y=-x-2$.

IV- Exercices

4-6/ Exercice 6

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;I;J)$, on considère les points $A(1;7)$, $B(-6;3)$ et $C(0;-1)$.

1. Calculez la distance $AB$.

2. Déterminez les coordonnées du point $L$ le milieu du segment $\left[BC\right]$.

3. Déterminez l’équation réduite de la droite $\left(BC\right)$.

4. Déterminez l’équation réduite de la droite $\left(D\right)$ qui passe par $A$ et qui est perpendiculaire à $\left(BC\right)$.

5. Montrez que $\left(D\right)$ est la médiatrice du segment $\left[BC\right]$.