Séance 12 - Dénombrement

Sommaire

I- Le dénombrement

1-1/ Définition de dénombrement

1-2/ Principe fondamental de dénombrement

II- Arrangement et permutation

2-1 Définition

2-2 Propriété

III- Combinaison

3-1 Définition

3-2 Propriétés1

3-3/ Propriété 2

IV- Type de tirage

V- Cardinal d’un ensemble fini

5-1/ Définition

5-2/ Propriété

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

I- Le dénombrement

1-1/ Définition de dénombrement

Le dénombrement c’est la détermination de nombre de possibilités d’une expérience

Exemple : 

• Le nombre de résultats possibles du lancement d’une pièce de monnaie est $N=2$.
• Le nombre de résultats possibles du lancement d’un dé à six faces numérotées de 1 à 6 est $N=6$.
• Le nombre de résultats possibles du tirage d’une carte d’un sac contenant dix cartes est N=10.

I- Le dénombrement

1-2/ Principe fondamental de dénombrement

Si une procédure peut être découpée en $p$ étapes,

et qu’il y a $n_1$ façons possibles de réaliser la première étape,

et qu’il y a $n_2$ façons possibles de réaliser la deuxième étape,
.
.

.
et qu’il y a $n_p$ façons possibles de réaliser la peme étape,

Alors la procédure peut être accomplie de $n_1\times n_2\times ...\times n_p$ façons.

Exemple

II- Arrangement et permutation

2-1 Définition

Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels avec $1\le p\le n$ et $E$ un ensemble fini de $n$ éléments.

- Tout choix (ou tirage successif et sans remis )  de $p$ éléments distincts deux à deux parmi $n$ élément est appelé arrangement de $p$ élément parmi n.

- Tout arrangement de $n$ élément parmi $n$ est appelé permutation de $n$ élément parmi $n$.

Remarque

L’ordre est très important dans tout arrangement.

II- Arrangement et permutation

2-2 Prepriété

Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels avec $1\le p\le n$ et $E$ un ensemble fini de $n$ éléments.

Le nombre d’arrangement d’un ensemble de $p$ éléments parmi $n$  est  $A_n^p=n\left(n-1\right)...\left(n-p+1\right)$, noté 

Le nombre de permutation d’un ensemble de $n$ éléments parmi $n$​  est  $A_n^n=\left(n-1\right)\times \left(n-2\right)\times ...\times 2\times 1$ (On la note  $n!$)

Exemple

III- Combinaison

3-1 Définition

Soient $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ et $E$ un ensemble finie de $n$ éléments et $p$ un entier vérifiant $1\le p\le n$.

On appelle combinaison de $p$ éléments de $E$ toute partie (ou tout sous-ensemble) de $E$ possédant $p$ éléments.

III- Combinaison

3-2 Propriété

Soient $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ et $E$ un ensemble finie de $n$ éléments et $p$ un entier vérifiant $1\le p\le n$.

Le nombre de combinaison de $p$ éléments parmi $n$ éléments est  $C_n^p=\frac{A_n^p}{p!}=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}$

Remarque

$C_n^p$ présente le nombre de façons de choisir $p$ objets parmi $n$ (l’ordre n’est pas important et il n’y a pas de répétition).

Exemple

III- Combinaison

3-3/ Propriétés

Pour tout entier $n$ et tout entier $p$ tel que $1\le p<n$, on a :

$$\begin{gathered} C_n^p=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}=\frac{A_n^p}{p!} \\ {C}_n^1=C_n^n=C_n^{n-1}=n \\ {C}_n^p=C_n^{n-p} \\ {C}_n^0=A_n^0=1 et 0!=1 \\ {C}_{n+1}^p=C_n^p+C_n^{p-1} \end{gathered}$$

Exemple

IV- Type de tirage

IV- Type de tirage

Le nombre de tirages simultanés de $p$ éléments parmi $n$ est : $C_n^p$

Le nombre de tirages successivement et sans remise de $p$ éléments parmi $n$ est : $A_n^p$.

Le nombre de tirages successivement avec remise de $p$ éléments parmi $n$ est : $n^p$.

V- Cardinal d’un ensemble fini

5-1/ Définition

On considère un ensemble fini $E$ de n éléments distincts : $E=\left\{x_1;x_2;···;x_n\right\}$.

On appelle cardinal de $E$ son nombre d’éléments $n$ et on écrit : $card\left(E\right)=n$.

V- Cardinal d’un ensemble fini

5-2/ Propriétés

Si $E$ est un ensemble fini et si $F\subset E$ alors $F$ est fini et $card\left(F\right)\le card\left(E\right)$.

Si $E$ et $F$ sont finis alors, $E\cup F$ est fini et $card(E\cup F)=card\left(E\right)+card\left(F\right)-card(E\cap F)$.

Si $E\cap F=\varnothing$ (sont disjoints) et fini alors $card(E\cup F)=card\left(E\right)+card\left(F\right)$.

$card\varnothing =0$, (où $\varnothing$ est l’ensemble vide).

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

1. Quels sont les nombres de deux chiffres distincts que l’on peut former à partir des chiffres suivants : 1 ,2 et 3.

2. Quels sont les nombres de deux chiffres que l’on peut former à partir des chiffres suivants : 1, 2 et 3.

3. Avant de venir au lycée, vous ouvrez votre armoire et les seuls vêtements propres que vous avez sont deux chemises, 3 jackets et 4 pantalons. Combien de tenus pouvez-vous porter ?

4. Dans la classe, il y a 21 filles et 12 garçons. Il faut une fille et un garçon pour représenter la classe dans un événement culturel. Combien de possibilités de choix ?

5. Dans une carte au restaurant, on peut composer son menu avec : 8 choix possibles d’entrée, 2 choix de plat principal et 5 choix de dessert. Combien de possibilités de choix de menu ?

6. Combien de nombres de trois chiffres on peut former avec les chiffres Suivants : 0; 1; 2; 3; 4; ... 9 ?

7. On lance une pièce de monnaie 2 fois de suites. Combien de possibilités ?

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

1. On cherche à faire une commission de 3 élèves parmi 10 élèves pour créer une association (Président, secrétaire, trésorier), on choisit les élèves un par un. Combien de commissions peut-on faire ?

2. Après les prolongations d’un match de football, l’entraîneur doit choisir les cinq tireurs de penaltys parmi les onze joueurs et l’ordre de passage de chacun. Combien de choix a-t-il?

3. Un tournois sportif compte 8 équipes engagées. Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une seule fois. Combien doit-on organiser de matchs ?

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

Une urne contient n=9 boules : 2 Rouges, 4 vertes et 3 blanches.

1. On tire simultanément p=3 boules de l’urne.

• Quel est le nombre de choix possible ?
• Quel est le nombre de choix de 3 boules vertes ?
• Quel est le nombre de choix de 3 boules de même couleur ?
• Quel est le nombre de choix de 3 boules de couleurs différents deux à deux ?
• Quel est le nombre de choix de 2 boules rouges et une boule bleue ?

On tire successivement et sans remis p=3 boules de l’urne.

2. Répondez aux mêmes questions ?

On tire successivement avec remis p=3 boules de l’urne.

3. Répondez aux mêmes questions ?