Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM

Séance 17 (Probabilités)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

I- Terminologie

1-1/ Expérience aléatoire

1-2/ Univers

1-3/ Éventualité

1-4/ Évènement

II- Probabilité sur Ω l’univers d’une expérience aléatoire

2-1/ Probabilité d’un cas possible à être réalisé

2-2/ Probabilité sur un univers fini (un ensemble fini)

2-3/ Hypothèse d’équiprobabilité

III- Probabilité conditionnelle – Deux événements indépendants - Probabilités composées

3-1/ Probabilité conditionnelle - Deux événements indépendants

3-2/ Probabilité totale

IV- Expérience répétée plusieurs fois

V- Variables aléatoire – loi de probabilité – espérance mathématique – variance – écart-type

5-1/ Variables aléatoire

5-2/ Loi de probabilité d’une variable aléatoire X

5-3/ Espérance mathématique - variance – écart-type d’une variable aléatoire X

VI- Loi binomiale ou distribution binomiale

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

7-5/ Exercice 5

7-6/ Exercice 6

 


I- Terminologie

 

1-1/ Expérience aléatoire

Toute expérience dont ses résultats sont connus mais on ne pas donner le résultat de l’expérience avant de réaliser l’expérience ; on l’appelle expérience aléatoire.

Les résultats obtenues par cette expérience aléatoire on les note par ω1 puis ω2 puis ω3 …… ωn (en général ωi avec i1,2,...,n).

Exemple

 

 

1-2/ Éventualité

Chaque ωi s’appelle une éventualité ou un événement élémentaire.

Par exemple, lorsqu'on obtient 1, on dit que ω1=1 est une éventualité ou cas possible.

Exemple

 

 

1-3/ Univers

Les éventualités (ou les événements élémentaires) constituent un ensemble qui s’appelle univers.

Il est noté Ωω1,ω2,....,ωn.

Exemple

 

 

1-4/ Évènement

Toute partie A de Ω s’appelle événement.

Par exemple, A=PP,FFΩ, donc A=PP,FF est un évènement.

On peut exprimer un évènement par une phrase : A=PP,FF les deux lancements de dé donnent le même résultat

Si A=Ω alors l’évènement Ω s’appelle événement certain.

Si A= alors l’évènement  s’appelle événement impossible.

Si A=ωi alors l’évènement ωi s’appelle événement élémentaire.

Si AB= on dit que A et B sont deux événements incompatibles .

Si AB= et AB=Ω alors B s’appelle l’événement contraire de A (et vis versa), on note B=A ( de même A=B).

L’événement AB est l’ensemble constitué par des éventualités réalisées à la fois par les événements A et B.

L’événement AB est l’ensemble constitués par des éventualités réalisées soit par l’événement A ou par l’événement B.

Les événements A1 et A2 et  ….. Ap est une partition de Ω s’ils sont disjoints deux à deux et A1A2...Ap=Ω.

Exemple

 

II- Probabilité sur Ω l’univers d’une expérience aléatoire

 

2-1/ Probabilité d’un cas possible à être réalisé

On lance dans l’air une pièce de monnaie 2 fois successives (si le 1er lancer donne P et le 2ème lancer donne F, cette éventualité (ou cas possible) sera notée PF.

Cette expérience est répétée 1000 fois, on obtient les résultats suivants :

Cas possibles (événement élémentaire) FF FP PF PP
Nombres de cas 240 260 270 230
  • Quel est l’événement élémentaire qui a une grande chance d’être réalisé ?
  • Quel est l’événement élémentaire qui a une faible chance d’être réalisé ?

 

 

2-2/ Probabilité sur un univers fini (un ensemble fini)

Définition

Soit Ω=ω1,ω2,....,ωn l'univers des éventualités d’une expérience aléatoire.

Lorsqu'on répète une expérience aléatoire N fois dans les mêmes conditions, si ni est le nombre de fois on a obtenu ωi, Le nombre niN s’appelle la probabilité de l’événement élémentaire ωi, on note pi=pωi=niN, et on a p1+p2+p3+...+pn=1.

La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent A, on note p(A) (exemple : Ω=ω1,ω3,ω6 donc pA=pω1+pω3+pω6)

Exemple

 

 

 

Propriété

A et B sont deux événements d’un univers Ω d’une expérience aléatoire.

AΩ ; 0pA1pΩ=1p=0pAB=pA+pB-pABpA=1-pA

 

 

2-3/ Hypothèse d’équiprobabilité

Propriété

Si dans une expérience aléatoire (dont l’univers est Ω), tous les événements élémentaires A=ωi ont la même probabilité (c.à.d. pω1=pω2=...=pωn), alors la probabilité d’un évènement A de Ω est pA=cardAcardΩ.

Remarque

L'équiprobabilité est exprimé par les expressions suivants :

  • Des boules indiscernables aux touché.
  • On lance un dé (ou une pièce de monnaie) au hasard.

 

III- Probabilité conditionnelle – Deux événements indépendants - Probabilités composées

 

3-1/ Probabilité conditionnelle - Deux événements indépendants

Définition

A et B sont deux événements d’un univers Ω d’une expérience aléatoire.

La probabilité de l’événement B sachons que l’événement A est réalisé est pABpA, on la note par pAB ou par pBA.

A et B sont deux événements indépendants si pAB=pA×pB ou pAB=pB.

pA0 et pB0, l’écriture pAB=pA.pAB=pB.pBA s’appelle la formule de probabilité composée.

Exemple

 

 

 

3-2/ Probabilité totale

Définition

A1, A2, A3,....et An sont des événements d’un univers Ω d’une expérience aléatoire qui forment une partition de Ω.

A1, A2, A3,....et An sont disjoints 2 à 2 et A1A2A3....An=Ω.

La probabilité d’un événement B de Ω est :

pB=pA1pA1B+pA2pA2B+....+pAnpAnB

Exemple

 

 

IV- Expérience répétée plusieurs fois

 

Propriété

Soit p=p(A) la probabilité d’un événement A d’un univers Ω d’une expérience aléatoire.

Soit l’événement C « l’événement A était réalisé k fois après avoir répété cette expérience aléatoire n fois dans les mêmes conditions de départ » avec k0,1,2,...,n.

La probabilité de l’événement C est pC=Cnkpk1-pn-k avec k0,1,2,...,n et p=p(A).

Exemple

 

 

V- Variables aléatoire – loi de probabilité – espérance mathématique – variance – écart-type

 

5-1/ Variables aléatoire

On va relier une relation entre l’ensemble des cas possible vers l’ensemble .

Cette relation notée X est appelée variable aléatoire définie de la manière suivante : X : Ω     ωiXωi=xi tel que xi est le nombre des numéros impaire pour chaque tirage ωi.

Les nombres 0 et 1 et 2 sont appelés les valeurs de la variable aléatoire X, on note x1=0 et x2=1 et x3=2, ces nombres constituent un ensemble noté XΩ=0,1,2 st appelé ensemble des valeurs de la variable aléatoire X, dans le cas général on note XΩ=x1,x2,....,xn.

Tous les cas possibles ωi (les événements élémentaires) qui sont reliés par xi forment une partie de Ω, cette partie (c’est un événement) sera notée par X=xi=ωΩ/Xω=xi.

L’écriture pX=xi signifie probabilité de l’événement X=xi.

Exemple

 

 

 

5-2/ Loi de probabilité d’une variable aléatoire X

Définition

Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω d’une expérience aléatoire.

L’ensemble des valeurs de X est XΩ=x1,x2,....,xn.

Loi de probabilité de X : c’est de calculer toutes les probabilités pX=xi avec xiXΩ.

On a : 1npX=xi=1

Exemple

 

 

5-3/ Espérance mathématique - variance – écart-type d’une variable aléatoire X

Définition

Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω d’une expérience aléatoire.

L’ensemble des valeurs de X est XΩ=x1,x2,....,xn.

Le nombre 1nxi.pX=xi s’appelle l’espérance mathématique de la variable aléatoire X, on le note EX.

Le nombre EX2-EX2=1nxi2.pX=xi-EX2 s’appelle la variance de la variable aléatoire X, on la note VX. On a VX0.

Le nombre σX=VX s’appelle l’écart-type de la variable aléatoire X, on le note σX.

Exemple

 

 

VI- Loi binomiale ou distribution binomiale

 

Définition et propriété

Soit p est la probabilité de l’événement A d’une expérience aléatoire (seulement une fois).

On répète cette expérience n fois (dans les mêmes conditions de départ).

On considère la variable aléatoire X définie de la manière suivante « le nombre de fois tel que l’évènement A est réalisé après la répétition de l‘expérience de départ n fois »

L'ensemble des valeurs de X est XΩ=0,1,....,n.

X est appelé loi binomiale (ou distribution) de paramètres n et p, on la note X=Bn,p.

Exemple

 

 

VII- Exercices

 

7-1/ Exercice 1

Une urne contient 10 boules : quatre boules rouges et six boules vertes (Les boules sont indiscernables au toucher).

On tire au hasard, simultanément, deux boules de l’urne.

Soit A l’évènement : « Les deux boules tirées sont rouges ».

  1. Montrer que p(A)=215

Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules rouges restantes dans l’urne après le tirage des deux boules.

  1. Montrer que l’ensemble des valeurs prises par X est 2,3,4.
  1. Montrer que pX=3=815 puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

 

 

7-2/ Exercice 2

Une urne contient 10 boules portant les nombres 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 (Les boules sont indiscernables au toucher) :

On considère l’expérience suivante : on tire au hasard , successivement et sans remise, deux boules de l’urne.

Soit A l’évènement : "Obtenir deux boules portant deux nombres pairs".

  1. Montrer que p(A)=13

On répète l’expérience précédente trois fois de suite, en remettant dans l’urne les deux boules tirées après chaque expérience.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où l’évènement A est réalisé.

  1. Montrer que pX=1=49 puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

 

 

7-3/ Exercice 3

Une urne contient huit boules indiscernables au toucher portant chacune un nombre comme indiqué sur la figure suivante :

On tire au hasard, simultanément, trois boules de l’urne.

Soit A l’événement : « Parmi les trois boules tirées, aucune boule ne porte le nombre 0 », et B l’événement : « Le produit des nombres portés par les trois boules tirées est égal à 8 »

  1. Montrer que p(A)=514 et que pB=17

Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le produit des nombres portés par les trois boules tirées.

  1. Montrer que pX=16=328

Le tableau suivant concerne la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

  1. Compléter le tableau en justifiant chaque réponse.

 

 

7-4/ Exercice 4

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : Cinq boules blanches, trois boules rouges et deux boules vertes :

On tire au hasard, simultanément, quatre boules de l’urne.

Soit A l’événement : "Parmi les quatre boules tirées, une seule boule est verte", et B l’événement : "Parmi les quatre boules tirées, il y a exactement trois boules de même couleur".

  1. Montrer que p(A)=815 et que pB=1970

Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules vertes tirées.

  1. Montrer que pX=2=215
  1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et montrer que l’espérance mathématique EX est égale à 45.

 

 

7-5/ Exercice 5

Une caisse contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 5 boules rouges. (indiscernables au toucher).

On tire au hasard et simultanément trois boules de la caisse.

On considère les deux événements :

  • A: Obtenir trois boules de même couleurs
  • B: Obtenir trois boules de couleurs différentes deux à deux
  1. Montrer que PA=344 et PB=311.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage fait correspondre le nombre de couleur des boules tirées.

  1. Déterminer les valeurs prises par X.
  1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X, et calculer l’espérance mathématique E(X).

 

 

7-6/ Exercice 6

Une caisse contient dix boules : 5 boules blanches, 3 boules rouges et deux boules noires (indiscernables au toucher).

On tire au hasard et simultanément quatre boules de la caisse.

On considère les deux événements :

  • A: Obtenir une seule boule rouge.
  • B: Obtenir une boule blanche au moins.
  1. Montrer que PA=12 et PB=4142.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules rouges tirées.

  1. Vérifier que les valeurs prises par X sont 0 ; 1 ; 2 ; 3.
  1. Montrer que PX=0=16 et PX=2=310.
  1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.