Séance 15 - Géométrie dans l’espace 2 : Produit vectoriel

Sommaire

I- Orientation de l’espace – trièdre – base et repère orientés

1-1/ Trièdre

1-2/ Bonhomme d’Ampère

1-3/ Base et repère orientés

II- Produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace orienté

2-1/ Définition géométrique du produit vectoriel

2-2/ Interprétation de la norme du produit vectoriel de deux vecteurs

2-3/ Anti-symétrie et linéarité du produit vectoriel

III- Coordonnées de $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$ dans l’espace rapporté à une base orthonormée directe

IV- Distance d’un point à une droite de l’espace

V- Règles du produit vectoriel

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

I- Orientation de l’espace – trièdre – base et repère orientés

1-1/ Trièdre

$\left[OI\right)$ et $\left[OJ\right)$ et $\left[OK\right)$ trois demi-droites non coplanaires de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ constituent dans cet ordre un trièdre qu'on note $(OI,OJ,OK)$

Chaque demi-droite est appelée cote de trièdre.

I- Orientation de l’espace – trièdre – base et repère orientés

1-2/ Bonhomme d’Ampère

$(OI,OJ,OK)$ est trièdre, on considère une personne virtuel (ou imaginaire) tel que :

ses pieds se trouvent en $O$ debout dans le sens de $\left[OK\right)$.
il regarde le cote $\left[OI\right)$.

On s’intéresse de savoir si oui ou non la main gauche suit le cote $\left[OJ\right)$.

Cet personne est appelé Bonhomme d’Ampère, donc on a deux positions pour cet personne :

I- Orientation de l’espace – trièdre – base et repère orientés

1-3/ Base et repère orientés

La position du bonhomme d’ampère tel que :

ses pieds se trouvent en $O$ debout dans le sens de $\left[OK\right)$ et il regarde le cote $\left[OI\right)$ et la main gauche suit le cote $\left[OJ\right)$ ; le trièdre $(OI,OJ,OK)$ est appelé trièdre directe ou positif, l’autre position le trièdre est appelé trièdre rétrograde ou négative.

On pose : $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{OJ}$ et $\overrightarrow{k}=\overrightarrow{OK}$, d’où $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ sont non coplanaires .

le triplet $\left(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ est une base directe si le trièdre $(OI,OJ,OK)$ est direct.

Le quadruplet $\left(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ est un repère direct, dans ce cas on dit que l’espace est orienté une orientation directe ou positive.

II- Produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace orienté

2-1/ Définition géométrique du produit vectoriel

Définition

Soient $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ deux vecteurs de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ orienté.

Le produit vectoriel de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (dans cet ordre) est le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AD}$, on note $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$ qui vérifie :

1- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires alors $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$.

2- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires alors :

• $\overrightarrow{w}$ est orthogonal à $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$
• $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\right)$ est une base directe ou encore $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)$ est une base directe ou encore $(AB,AC,AD)$ est un trièdre direct.
• La norme de $\overrightarrow{w}$ est $||\overrightarrow{w}||=||\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}||=||\overrightarrow{u}||\times ||\overrightarrow{v}||\times \sin \theta$, $\theta$ est la mesure de l’angle géométrique $BAC$.

II- Produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace orienté

2-1/ Définition géométrique du produit vectoriel

Conséquences

Soient $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ deux vecteurs de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ orienté.

$\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0} ; \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} ; \overrightarrow{0}\wedge \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont non nuls et orthogonaux, alors le triplet $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\right)$ est une base orthogonale directe.

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont non nuls et orthogonaux et $||\overrightarrow{u}||=||\overrightarrow{v}||=1$, alors le triplet $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\right)$ est une base orthonormée directe.

Le plan passant par le point $A$ a pour vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (c.à.d. $P\left(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$) alors le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$ est normal à ce plan d’où : $P\left(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=P\left(A,\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\right)$

$\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\iff$($\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires).

II- Produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace orienté

2-2/ Interprétation de la norme du produit vectoriel de deux vecteurs

La surface du triangle $ABC$ est $S_{ABC}=\frac{1}{2}||\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}||$

La surface du parallélogramme $ABCD$ est $S_{ABCD}=||\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}||$

II- Produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace orienté

2-3/ Anti-symétrie et linéarité du produit vectoriel

 $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ orienté, et $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

L’antisymétrie du produit vectoriel

$\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{u}=-\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$

Bilinéarité du produit vectoriel

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}\wedge \left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w} \\ \left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\wedge \overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w} \\ \left(\alpha \overrightarrow{u}\right)\wedge \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\wedge \left(\alpha \overrightarrow{v}\right)=\alpha \left(\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\right) \end{gathered}$$

III- Coordonnées de $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}$ dans l’espace rapporté à une base orthonormée directe

Propriété

L’espace rapporté à une base orthonormée directe $\left(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$

Soient $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{v}=x\text{'}\overrightarrow{i}+y\text{'}\overrightarrow{j}+z\text{'}\overrightarrow{k}$ deux vecteurs de l’espace.

On a :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right)\wedge \left(x\text{'}\overrightarrow{i}+y\text{'}\overrightarrow{j}+z\text{'}\overrightarrow{k}\right) \\ \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c}x\text{'}\\ y\text{'}\\ z\text{'}\end{array}\right) \\ \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{cc}y& y\text{'}\\ z& z\text{'}\end{array}\right|\overrightarrow{i}-\left|\begin{array}{cc}x& x\text{'}\\ z& z\text{'}\end{array}\right|\overrightarrow{j}+\left|\begin{array}{cc}x& x\text{'}\\ y& y\text{'}\end{array}\right|\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}={\Delta }_x\overrightarrow{i}-{\Delta }_y\overrightarrow{j}+{\Delta }_z\overrightarrow{k} \end{gathered}$$

Technique

Exemple

IV- Distance d’un point à une droite de l’espace

Propriété

$D(a,\overrightarrow{u})$ est une droite passant par le point $A$ et est dirigé par un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de l’espace.

$M$ est un point de l’espace.

La distance du point $A$ à la droite $D(a,\overrightarrow{u})$ est :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ d\left(M;D(a,\overrightarrow{u})\right)=\frac{||\overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||} \\ } \end{gathered}$$

Exemple

V- Règles du produit vectoriel

Règle du tire bouchon

Règle de la main droite

Bonhomme d’Ampère

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points $A(2,1,3)$, $B(3,1,1)$, $C(2,2,1)$ et la sphère $\left(S\right)$ d’équation :

$x^2+y^2+z^2-2x+2y-34=0$

1. Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$

2. En déduire que $2x+2y+z-9=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$.

3. Montrer que la sphère $\left(S\right)$ a pour centre le point $\Omega \left(1,-1,0\right)$ et pour rayon $6$.

4. Montrer que $d\left(\Omega ,\left(ABC\right)\right)=3$, et en déduire que le plan $\left(ABC\right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ suivant un cercle $\left(\Gamma \right)$.

5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\left(\Delta \right)$ passant par le point $\Omega$ et orthogonale au plan $\left(ABC\right)$.

6. Montrer que le point B est le centre du cercle $\left(\Gamma \right)$.

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère le plan $\left(P\right)$ passant par le point $A\left(0,1,1\right)$ et dont $\overrightarrow{u}\left(1,0,-1\right)$ est un vecteur normal et la sphère $\left(S\right)$ de centre le point $\Omega \left(0,1,-1\right)$ et de rayon $\sqrt{2}$.

1. Montrer que $x-z+1=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(P\right)$.

2. Montrer que le plan $\left(P\right)$ est tangent à la sphère $\left(S\right)$ et vérifier que $B\left(-1,1,0\right)$ est le point de contact.

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\left(\Delta \right)$ passant par le point $A$ et orthogonale au plan $\left(P\right)$.

4. Montrer que la droite $\left(\Delta \right)$ est tangente à la sphère $\left(S\right)$ au point $C\left(1,1,0\right)$.

5. Montrer que $\overrightarrow{OC}\wedge \overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{k}$ et en déduire l’aire du triangle $OCB$.

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

On considère la sphère $\left(S\right)$ d’équation $x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0$ et le plan $\left(P\right)$ d’équation $y-z=0$.

1. Montrer que la sphère $\left(S\right)$ a pour centre le point $\Omega \left(1,1,1\right)$ et pour rayon $2$.

2. Calculer $d\left(\Omega ,\left(P\right)\right)$ et en déduire que le plan $\left(P\right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ suivant un cercle $\left(C\right)$.

3. Déterminer le centre et le rayon du cercle $\left(C\right)$.

Soit $\left(\Delta \right)$ la droite passant par le point $A\left(1,-2,2\right)$ et orthogonale au plan $\left(P\right)$.

4. Montrer que $\overrightarrow{u}\left(0,1,-1\right)$ est un vecteur directeur de la droite $\left(\Delta \right)$.

5. Montrer que $||\overrightarrow{\Omega A}\wedge \overrightarrow{u}||=\sqrt{2}||\overrightarrow{u}||$ et en déduire que la droite $\left(\Delta \right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ en deux points.

6. Déterminer les coordonnées de chaque point d’intersection de la droite $\left(\Delta \right)$ et de la sphère $\left(S\right)$.

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points $A\left(0,-2,-2\right)$, $B\left(1,-2,-4\right)$ et $C\left(-3,-1,2\right)$.

1. Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ et en déduire que $2x+2y+z+6=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$.

On considère la sphère $\left(S\right)$ dont une équation est $x^2+y^2+z^2-2x-2z-23=0$.

2. Vérifier que la sphère $\left(S\right)$ a pour centre $\Omega \left(1,0,1\right)$ et pour rayon $R=5$.

3. Vérifier que $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=2t\end{array}\\ z=1+t\end{array}\right.; \left(t\in \mathrm{ℝ}\right)$ est une représentation paramétrique de la droite $\left(\Delta \right)$ passant par le point $\Omega$ et orthogonale au plan $\left(ABC\right)$.

4. Déterminer les coordonnées de $H$ point d’intersection de la droite $\left(\Delta \right)$ et du plan $\left(ABC\right)$.

5. Vérifier que $d\left(\Omega ,\left(ABC\right)\right)=3$, puis montrer que le plan $\left(ABC\right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ selon un cercle de rayon $4$, dont on déterminera le centre.

VI- Exercices

6-5/ Exercice 5

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

On considère les points $A(-2,2,8)$, $B(6,6,0)$, $C(2,-1,0)$ et $D(0,1,-1)$.

Soit $\left(S\right)$ l’ensemble des points $M$ vérifiant $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$.

1. Déterminer les coordonnées $\overrightarrow{OC}\wedge \overrightarrow{OD}$, et en déduire que $x+2y+2z=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(OCD\right)$.

2. Vérifier que $\left(S\right)$ est la sphère de centre $\Omega (2,4,4)$ et de rayon $R=6$.

3. Calculer la distance de $\Omega$ au plan $\left(OCD\right)$.

4. En déduire que le plan $\left(OCD\right)$ est tangent à la sphère $\left(S\right)$.

5. Vérifier que $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0$, et en déduire que $O$ est le point contact de la sphère $\left(S\right)$ et du plan $\left(OCD\right)$.

VI- Exercices

6-6/ Exercice 6

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

On considère les points $A\left(-1,0,3\right)$, $B(3,3,0)$ et $C(7,1,-3)$.

Soit $\left(S\right)$ la sphère d’équation : $x^2+y^2+z^2-6x-2y-15=0$

1. Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=-5(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{k})$, et en déduire que $3x+4z-9=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$.

2. Montrer que $\left(S\right)$ est la sphère de centre $\Omega (3, 1,0)$ et de rayon $5$.

Soit $\left(\Delta \right)$ la droite passant par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $\left(ABC\right)$.

3. Montrer que $\left\{\begin{array}{c}x=3+3t\\ y=1\\ z=4t\end{array} \left(t\in \mathrm{ℝ}\right)\right.$ est une représentation paramétrique de la droite $\left(\Delta \right)$.

4. Montrer que la droite $\left(\Delta \right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ aux deux points $E(6,1,4)$ et $F(0,1,-4)$.