Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM
Séance 14 (Géométrie dans l’espace 1 : Produit scalaire)
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
Sommaire
I- Produit scalaire dans l’espace
1-1/ Définition
1-2/ Remarques
1-3/ Propriétés
II- Base et repère orthonormé
2-1/ Rappel
2-2/ Technique
2-3/ Définitions
III- Expression analytique de →u.→v
IV- Ensemble des points M(x,y,z) tel que →AM.→u=k
V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal
5-1/ Vecteur normal à un plan
5-2/ Ensemble des points M(x,y,z) tel que ax+by+cz+d=0
5-3/ Ensemble des points M(x,y,z) tel que →AM.→n=0
VI- Distance d’un point à un plan
6-1/ Définition
6-2/ Propriété
VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans
7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans
7-2/ Parallélisme et orthogonalité d’une droite et un plan
IIX- Étude analytique de la sphère
8-1/ Définition d'une sphère
8-2/ Équation cartésienne d’une sphère
8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre [AB]
8-4/ L’ensemble des points M(x,y,z) tel que x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0
8-5/ Positions relatives d’une sphère et un plan
8-6/ Positions relatives d’une sphère et une droite
IX- Exercices
9-1/ Exercice 1
9-2/ Exercice 2
9-3/ Exercice 3
9-4/ Exercice 4
9-5/ Exercice 5
9-6/ Exercice 6
I- Produit scalaire dans l’espace
1-1/ Définition
Soient →u et →v deux vecteurs non nul de l’espace (E)
A, B et C sont trois points de (E) tel que →u=→AB et →v=→AC
H est la projection de C sur la droite (AB).
Le produit scalaire de →u et →v est noté par →u.→v ou →AB.→AC tel que :
Cas 1
→u.→v=→AB.→AC=AB.AH
Cas 2
→u.→v=→AB.→AC=-AB.AH
I- Produit scalaire dans l’espace
1-2/ Remarques
→u.→u=→u2 est le carré scalaire de →u et est toujours positif.
√→u.→u=AB est la norme du vecteur →AB, on note : ||→u||=√→u.→u=AB.
→u⊥→v⇔→u.→v=0.
→u.→v=→||u||×||→v||×cos(^→u,→v)
→u et →v sont colinéaire ⇔|→u.→v|=→||u||×||→v||
Exemple
I- Produit scalaire dans l’espace
1-3/ Propriétés
→u et →v et →w trois vecteurs de l’espace (E) et α∈ℝ.
On a :
→u2=||→u||2
Symétrie du produit scalaire : →u.→v=→v.→u
Positivité du produit scalaire : →u.→u=→u2≥0
Non dégénère : →u.→u=0⇔→u=→0
Linéarité du produit scalaire : →u.(→v+→w)=.→u.→v+→u.→w(→v+→w).→u=→v.→u+→w.→u→u.(α→v)=(α→u).→v=α(→u.→v)
(→u+→v)2=→u2+2→u.→v+→v2(→u-→v)2=→u2-2→u.→v+→v2(→u+→v)(→u-→v)=→u2-→v2
Exemple
I- Base et repère orthonormé
2-1/ Rappel
→u et →v et →w trois vecteurs de l’espace (E) rapporté à une base (→i,→j,→k)
Le déterminant des vecteurs →u et →v et →w dans cet ordre est le nombre :
det(→u,→v,→w)=|xx'x''yy'y''zz'z''|det(→u,→v,→w)=x|y'y''z'z''|-y|x'x''z'z''|+z|x'x''y'y''|det(→u,→v,→w)=(xy'z''-xz'y'')+(-yx'z''+yz'x'')+(zx'y''-zy'x'')
→u et →v et →w sont coplanaires si et seulement si det(→u,→v,→w)=0
I- Base et repère orthonormé
2-2/ Technique
Exemple
I- Base et repère orthonormé
2-3/ Définitions
(→i,→j,→k) est une base de l’espace (E) équivaut à →i et →j et →k ne sont pas coplanaires : (det (→i,→j,→k)≠0)
Prenons un point O de l’espace (E)
Le quadruplé (O,→i,→j,→k) est appelé repère de (E)
Si →i.→j=→j.→k=→k.→i=0 et ||→i||=||→j||=||→k||=1, alors :
- La base (→i,→j,→k) est une base orthonormée.
- Le repère (O,→i,→j,→k) est un repère orthonormé.
Exemple
III- Expression analytique de →u.→v
Propriété
Le produit scalaire de →u et →v est : →u.→v=(xyz).(x'y'z')=xx'+yy'+zz'
La norme du vecteur →u est : ||→u||=√→u.→u=√x2+y2+z2.
La distance AB est : AB=√(xB-xA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)2.
Exemple
IV- Ensemble des points M(x,y,z) tel que →AM.→u=k
Propriété
A(xA,ya,zA) est un point et →u(a,b,c) est un vecteur non nul de l’espace (E) et k∈ℝ.
L’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace (E) tel que →AM.→u=k est un plan (P) d’équation de la forme :ax+by+cz+d=0.
Exemple
V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal
5-1/ Vecteur normal à un plan
Définition
Tout vecteur →n non nul sa direction est perpendiculaire au plan (P) s’appelle vecteur normal au plan (P).
Remarques
Si →n est normale au plan P(A,→u,→v), alors →n⊥→u et →n⊥→v.
Si →n est normale au plan (P) et passe par A le plan (P) est noté par P(A,→n).
Exemple
V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal
5-1/ Vecteur normal à un plan
Définition
Tout vecteur →n non nul sa direction est perpendiculaire au plan (P) s’appelle vecteur normal au plan (P).
Remarques
Si →n est normale au plan P(A,→u,→v), alors →n⊥→u et →n⊥→v.
Si →n est normale au plan (P) et passe par A le plan (P) est noté par P(A,→n).
Exemple
V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal
5-2/ Ensemble des points M(x,y,z) tel que ax+by+cz+d=0
Propriété
L’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace (E) qui vérifie ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)≠(0,0,0) est un plan, et le vecteur non nul →n(a,b,c) est un vecteur normal à ce plan.
Exemple
V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal
5-3/ Ensemble des points M(x,y,z) tel que →AM.→n=0
Propriété 1
→n(a,b,c) est un vecteur non nul et A(xA,yA,zA) est un point de l’espace (E).
L’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace (E) qui vérifie →AM.→n=0 est le plan (P) qui passe par A et le vecteur →n est un vecteur normal à ce plan (c.à.d. P(A,→n)).
Le plan (P) a une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 avec d=-(axA+byA+czA).
Exemple
V- Plan déterminé par un point et un vecteur normal
5-3/ Ensemble des points M(x,y,z) tel que →AM.→n=0
Propriété 2
Tout plan P(A,→n(a,b,c)) a pour équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 la réciproque avec (a,b,c)≠(0,0,0).
Exemple
VI- Distance d’un point à un plan
6-1/ Définition
(P) est un plan et A est un point de l’espace et H est la projection orthogonale de A sur le plan (P).
La distance du point A au plan (P) est AH, et on note AH=d(A,(P)).
Exemple
VI- Distance d’un point à un plan
6-2/ Propriété
(P) est un plan et A(xA,yA,zA) est un point de l’espace (E) tel que (P) a pour équation ax+by+cz+d=0.
La distance du point A au plan (P) est :
AH=d(A,(P))=|axA+byA+czA+d|√a2+b2+c2
Exemple
VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans
7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans
Propriété
Soient (P1):ax+by+cz+d=0 et (P2):a'x+b'y+c'z+d'=0.
(P2)∥(P1)⇔→n'=α→n | ![]() |
(P2)⊥(P1)⇔→n'.→n=0 | ![]() |
Exemple
VII- Parallélisme et orthogonalité des droites et des plans
7-1/ Parallélisme et orthogonalité de deux plans
Propriété
Soient P(B,→n) et D(A,→u)
(D)∥(P)⇔→u.→n=0 | ![]() |
(D)⊥(P)⇔→u=α→n | ![]() |
Exemple
IIX- Étude analytique du sphère
8-1/ Définition d'une sphère
Ω est un point donné de l’espace (E) et R>0
L’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace (E) tel que ΩM=R s’appelle le sphère de centre Ω et de rayon R.
On note (S) ou S(Ω,R)
IIX- Étude analytique du sphère
8-2/ Équation cartésienne d’une sphère
L'équation cartésienne de (S)=S(Ω(a,b,c),R) est :
M(x,y,z)∈(S)⇔ΩM=R
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2
x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 avec d=a2+b2+c2-R2
IIX- Étude analytique du sphère
8-3/ Équation cartésienne d’une sphère déterminée par un diamètre [AB]
Définition
Ω est le milieu de [AB]
[AB] est un diamètre du sphère (S) donc A et B appartiennent à (S)
On dit la sphère de diamètre [AB] on note (S) ou S[AB].
Propriété
L'équation cartésienne de S[AB] est : M(x,y,z)∈S[AB]⇔→MA.→MB=0
ou bien (x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)+(z-zA)(z-zB)=0
IIX- Étude analytique du sphère
8-4/ L’ensemble des points M(x,y,z) tel que x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0
On pose A=a2+b2+c2-4d
L’ensemble des points M(x,y,z) tel que x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0 est :
- (E)=∅ si A<0
- (E)={Ω(-a2,-b2,-c2)} si A=0
- La sphère (E)=S(Ω(-a2,-b2,-c2),R=√A2) si A>0
IIX- Étude analytique de la sphère
8-5/ Positions relatives d’une sphère et un plan
Cas 1 : d=ΩH>R
(P)∩(S)=∅
Cas 2 : d=ΩH=R
(P)∩(S)={H} ; (P) et (S) sont tangents en H avec (HΩ)⊥(P)
Cas 3 : d=ΩH<R
(P)∩(S)=(C) ; (P) coupe (S) suivant le cercle de centre H et de rayon r=Rc=√R2-d2
Équation du plan tangent à une sphère
Par un point A quelconque d’une sphère (S) il existe un et un seul plan (Q) tangente au sphère (S) au point A.
L’équation de (Q) est : M∈(Q)⇔→AM.→AΩ=0
IIX- Étude analytique de la sphère
8-6/ Positions relatives d’une sphère et une droite
Cas 1 : d=ΩH>R
(D)∩(S)=∅
Cas 2 : d=ΩH=R
(D)∩(S)={H} ; (D) et (S) sont tangents en H avec (HΩ)⊥(D)
Cas 3 : d=ΩH<R
(D) coupe (S) en deux points A et B (Deux points mais pas le segment [AB])
IX- Exercices
9-1/ Exercice 1
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,→i,→j,→k), on considère les points A(2,1,3), B(3,1,1), C(2,2,1) et la sphère (S) d’équation :
x2+y2+z2-2x+2y-34=0
- Montrer que →AB∧→AC=2→i+2→j+→k
- En déduire que 2x+2y+z-9=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).
- Montrer que la sphère (S) a pour centre le point Ω(1,-1,0) et pour rayon 6.
- Montrer que d(Ω,(ABC))=3, et en déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γ).
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point Ω et orthogonale au plan (ABC).
- Montrer que le point B est le centre du cercle (Γ).
IX- Exercices
9-2/ Exercice 2
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,→i,→j,→k), on considère le plan (P) passant par le point A(0,1,1) et dont →u(1,0,-1) est un vecteur normal et la sphère (S) de centre le point Ω(0,1,-1) et de rayon √2.
- Montrer que x-z+1=0 est une équation cartésienne du plan (P).
- Montrer que le plan (P) est tangent à la sphère (S) et vérifier que B(-1,1,0) est le point de contact.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point A et orthogonale au plan (P).
- Montrer que la droite (Δ) est tangente à la sphère (S) au point C(1,1,0).
- Montrer que →OC∧→OB=2→k et en déduire l’aire du triangle OCB.
IX- Exercices
9-3/ Exercice 3
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,→i,→j,→k).
On considère la sphère (S) d’équation x2+y2+z2-2x-2y-2z-1=0 et le plan (P) d’équation y-z=0.
- Montrer que la sphère (S) a pour centre le point Ω(1,1,1) et pour rayon 2.
- Calculer d(Ω,(P)) et en déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (C).
- Déterminer le centre et le rayon du cercle (C).
Soit (Δ) la droite passant par le point A(1,-2,2) et orthogonale au plan (P).
- Montrer que →u(0,1,-1) est un vecteur directeur de la droite (Δ).
- Montrer que ||→ΩA∧→u||=√2||→u|| et en déduire que la droite (Δ) coupe la sphère (S) en deux points.
- Déterminer les coordonnées de chaque point d’intersection de la droite (Δ) et de la sphère (S).
IX- Exercices
9-4/ Exercice 4
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,→i,→j,→k), on considère les points A(0,-2,-2), B(1,-2,-4) et C(-3,-1,2).
- Montrer que →AB∧→AC=2→i+2→j+→k et en déduire que 2x+2y+z+6=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).
On considère la sphère (S) dont une équation est x2+y2+z2-2x-2z-23=0.
- Vérifier que la sphère (S) a pour centre Ω(1,0,1) et pour rayon R=5.
- Vérifier que {x=1+2ty=2tz=1+t; (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point Ω et orthogonale au plan (ABC).
- Déterminer les coordonnées de H point d’intersection de la droite (Δ) et du plan (ABC).
- Vérifier que d(Ω,(ABC))=3, puis montrer que le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle de rayon 4, dont on déterminera le centre.
IX- Exercices
9-5/ Exercice 5
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,→i,→j,→k), on considère le plan (P) d'équation x+2y-z-1=0.
- Les points A(1;1;2) et B(2;1;1) appartiennent-ils au plan (P) ?
- Calculer la distance AB puis les distances de ces deux points A et B au plan (P).
- Le point A est-il le projeté orthogonal de B sur le plan (P) ?
IX- Exercices
9-6/ Exercice 6
On considère les plans d'équations respectives (P) x-y+z=0 et (Q) 2x+3y+z-6=0, et la sphère (S) de centre Ω(1;2;4) et tangente au plan (P).
Soit la droite (Δ) qui passe par Ω et perpendiculaire au plan (Q).
- Monter que les plans (P) et (Q) sont orthogonaux.
- Déterminer l’équation cartésienne de la sphère (S).
- Déterminer le point de tangence de (P) et (S).
- Déterminer le point d’intersection de (Δ) et (Q).
- Montrer que le plan (Q) coupe la sphère (S) suivant une cercle dont on déterminera le centre et le rayon.