Mathématiques : 3ème Année Collège

Séance 12 (Repère dans le plan)

 

 

Professeur : Mr BENGHANI Youssef

 

Sommaire

 

I- Les coordonnées d’un point

1-1/ Repère Orthonormé du Plan

1-2/ Coordonnées d’un point

1-3/ Coordonnées du milieu d’un segment

II- Les coordonnées d’un vecteur

2-1/ Propriété 1

2-2/ Propriété 2

2-3/ Propriété 3

III- La distance entre deux points

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

4-5/ Exercice 5

4-6/ Exercice 6

4-7/ Exercice 7

 


I- Les coordonnées d’un point

 

1-1/ Repère Orthonormé du Plan

Un repère orthonormé est un ensemble de deux axes gradués avec la même unité (OI=OJ=1unité), perpendiculaires et ayant la même origine.

On le note (O;I;J).

La droite (OI) est appelée l'axe des abscisses.
La droite (OJ) est appelée l'axe des ordonnées.
Le point O est appelé l'origine du repère.

Dans ce cours le Plan est rapporté à un repère orthonormé (O;I;J) :

 

 

1-2/ Coordonnées d’un point

Définition

Soit un repère orthonormé (O;I;J).

Tout point M du plan est repéré par un unique couple de réels (xM;yM).

Ce couple (xM;yM) est appelé coordonnées du point M.

  • xM : L’abscisse du point M.
  • yM : L’ordonnée du point M.

 

 

Remarque importante

Si le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;I;J), alors :

O(0;0)  ;  I(1;0)  ;  J(0;1)

Si M appartient à l’axe des abscisses alors son ordonné est nul. On écrit : M(xM;0)

Si M appartient à l’axe des ordonnées alors son abscisse est nul. On écrit : M(0;yM)

 

 

1-3/ Coordonnées du milieu d’un segment

Dans un repère (O;I;J), on considère les points AxA;yA et BxB;yB.

Si K est le milieu du segment [AB] alors :

KxA+xB2;yA+yB2

 

II- Les coordonnées d’un vecteur

 

2-1/ Propriété 1

Dans un plan rapporté à un repère (O;I;J), on considère les points AxA;yA et BxB;yB.

Les coordonnées du vecteur AB sont : xB-xA;yB-yA

Exemples

 

 

 

2-2/ Propriété 2

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

Si DC=AB alors xC-xD=xB-xAyC-yD=yB-yA

Exemples

 

 

 

2-3/ Propriété 3

Si AB(x;y) et CD(x';y') Alors AB+CD(x+x';y+y')

Soit k un nombre réel, kAB a pour coordonnées (kx;ky).

Exemples

 

 

III- La distance entre deux points

 

Propriété

Dans un repère orthonormé, soient ExE;yE et FxF;yF.

Alors, la distance entre E et F est donnée par :

EF=xF-xE2+yF-yE2

Conséquence

Si AB(x;y), alors AB=x2+y2

Exemples

 

 

IV- Exercices

 

4-1/ Exercice 1

On considère les points :

A(-2;3)  ,  B{5;1)C(-6,5;-2)  ,  D(-8;-3,2)E(23;52)  ,  F(-14;-74)G(11;-3)  ,  H(-4;12)

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs :

AB ; CD ; EF ; GH ; CB ; FD

 

 

4-2/ Exercice 2

On considère un repère du plan.

  1. Dans chacun des cas, déterminer les coordonnées du milieu I de [AB] :

a) A(1;5) et B(3;9) b) A(2;1) et B(2;0) c) A(3; 2) et B(2;- 2)

  1. Calculer les coordonnées du point B tel que I est le milieu du segment [AB] :

a) A(2;3) et I(4;3)b) A(1;2) et I(5;0)

 

 

4-3/ Exercice 3

Dans un repère orthonormé du pian, on considère les points A(4;1)B(0;4) et C(-6;-4)

  1. Calculer ABAC et BC.
  1. En déduire que le triangle ABC est rectangle.
  1. Trouver les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle. Quel est son rayon ?

 

 

4-4/ Exercice 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points A(6;3)B(3;2) et C(7;0).

  1. Construire les points AB et C.
  1. Déterminer le couple de coordonnées des vecteurs ABAC et BC.
  1. Calculer les distances ABAC et BC.
  1. Montrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle en A.

On considère le point D(4;-1).

  1. Construire le point D.
  1. Montrer que les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
  1. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

 

4-5/ Exercice 5

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(3;4)B(3;-2) et C(-4;-2).

  1. Tracer la figure.
  1. Déterminer la nature du triangle ABC.
  1. Calculer les coordonnées du point K le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.
  1. Déterminer les coordonnées du point D l'image de B par la translation de vecteur AC.
  1. Calculer les coordonnées du point E tel que : BA+BC=BE.
  1. Montrer que le point C est le milieu de [DE].
  1. Calculer les coordonnées du point N tel que : AN=-3AB.
  1. Calculer les coordonnées du point F point d’intersection de la droite (AB) et l’axe des abscisses.

 

 

4-6/ Exercice 6

 

On considère les points A(4;1)B(2;3)C(-1;0) et D1;-2.

  1. Montrer que ABCD est un parallélogramme.
  1. Calculer les distances ABAC et BC.
  1. Montrer que ABCD est un rectangle.

 

 

4-7/ Exercice 7

On considère les points A1;2B3;1C(-1;1) et D1;0.

  1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
  1. Comparer les vecteurs AC et BD.
  1. Montrer que ABDC est un losange.
  1. Calculer les coordonnées du point E tel que CE=52CD.