Séance 13 - Équations différentielles

Sommaire

I- Équation différentielle de la forme $y\text{'}=ay+b$

1-1/ Propriété 1

1-2/ Propriété 2

II- Équation différentielle de la forme $y"+ay\text{'}+by=0$

2-1/ Définition

2-2/ Propriété

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

I- Équation différentielle de la forme $y\text{'}=ay+b$

1-1/ Propriété 1

Soit l’équation différentielle $\left(E\right) : y\text{'}=ay+b$.

Cas général $(a\ne 0)$

l’ensemble des solutions de l’équation différentielle $\left(E\right)$ sont les fonctions de la forme $f\left(x\right)=\alpha .e^{ax}-\frac{b}{a}$ avec $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

Cas particulier 1 $(a=0 ; b=0)$

l’équation $\left(E\right)$ est $y\text{'}=0$, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle $\left(E\right)$ sont les fonctions de la forme $f\left(x\right)=c$.

Cas particulier 2 $(a=0 ; b\ne 0)$

l’équation $\left(E\right)$ est $y\text{'}=b$, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle $\left(E\right)$ sont les fonctions de la forme $f\left(x\right)=bx+\alpha$ avec $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

I- Équation différentielle de la forme $y\text{'}=ay+b$

1-2/ Propriété 2

Soit l’équation différentielle $\left(E\right) : y\text{'}=ay+b$ avec $(a\ne 0)$.

Il existe une et une seule fonction $f\left(x\right)$ qui est solution de l’équation $\left(E\right)$ et qui vérifie la condition initiale $f\left(x_0\right)=y_0 ; x_0,y_0\in \mathrm{ℝ}$.

II- Équation différentielle de la forme $y"+ay\text{'}+by=0$

2-1/ Définition

L'équation différentielle de la forme $y"+ay\text{'}+by=0$ tel que l’inconnue est la fonction $y$ avec $y\text{'}$ sa dérivée première et $y"$ sa dérivée seconde, s’appelle équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constant sans seconde membre.

L’équation $r^2+ar+b=0 \left(r\in \mathrm{ℂ}\right)$ s’appelle l’équation caractéristique de l’équation $y"+ay\text{'}+by=0$.

Le nombre $\Delta =a^2-4b$ s’appelle le discriminant de l’équation caractéristique.

II- Équation différentielle de la forme $y"+ay\text{'}+by=0$

2-2/ Propriété

La solution générale de l’équation différentielle $\left(E\right) : y"+ay\text{'}+by=0$ dépend du signe de $\Delta$.

Cas 1 : $\Delta >0$

L’équation caractéristique a deux solutions réelles sont $r_1$ et $r_2$.

D’où la solution générale de $\left(E\right)$ sont les fonctions de la forme $y\left(x\right)=\alpha e^{r_{1}x}+\beta e^{r_{2}x} ; \alpha ,\beta \in \mathrm{ℝ}$.

Cas 2 : $\Delta =0$

L’équation caractéristique a une solution réelle $r_1$.

D’où la solution générale de $\left(E\right)$ sont les fonctions de la forme $y\left(x\right)=\left(\alpha x+\beta \right)e^{r_{1}x} ; \alpha ,\beta \in \mathrm{ℝ}$.

Cas 3 : $\Delta <0$

L’équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées $r_1=p+qi$ et $r_2=\overline{r_1}=p-qi$.

D’où la solution générale de $\left(E\right)$ sont les fonctions de la forme $y\left(x\right)=\left(\alpha \cos \left(qx\right)+\beta \sin \left(qx\right)\right)e^{px} ; \alpha ,\beta \in \mathrm{ℝ}$.

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

1. Résoudre les équations différentielles suivantes :

$$\begin{gathered} 5y\text{'}=0 \\ y\text{'}=-8y \end{gathered}$$

2. Résoudre $y\text{'}=5y+1$ puis déterminer la solution qui vérifie la condition $g\left(0\right)=2$

3. Résoudre $\left(E\right) : y\text{'}+2y=0$

4. Montrer que $y_0=e^{-3x}$ est solution de l’équation $\left(E\text{'}\right) : y\text{'}+2y=-e^{-3x}$.

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

1. Résoudre les équations différentielles suivantes :

$$\begin{gathered} \left(E_1\right) : 4y\text{'}\text{'}-4y\text{'}+y=0 \\ \left(E_2\right) : y\text{'}\text{'}-2y\text{'}+5y=0 \end{gathered}$$

2. Résoudre l’équation $\left(E\right) : y\text{'}\text{'}-3y\text{'}+2y=0$

3. Déterminer la solution qui vérifie les conditions $g\left(0\right)=-3$ et $g\text{'}\left(0\right)=-2$.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

Résoudre les équations différentielles suivantes :

$$\begin{gathered} \left(E_1\right) : \left\{\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{2}{x}-1+4x\\ y\left(1\right)=-7\end{array}\right. \\ \left(E_2\right) : \left\{\begin{array}{l}2y\text{'}+14y=5\\ y\left(0\right)=1\end{array}\right. \\ \left(E_3\right) : \left\{\begin{array}{l}y\text{'}\text{'}+y\text{'}-2y=0\\ y\left(0\right)=0 et y\text{'}\left(0\right)=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

1. Résoudre dans l’ensemble $\mathrm{ℂ}$ l’équation $z^2-6z+13=0$.

2. Résoudre l’équation différentielle suivante $\left(E\right) : y\text{'}\text{'}-6y\text{'}+13y=0$.

3. Déterminer la fonction $f$ solution de $\left(E\right)$ tel que $f\left(0\right)=0$ et $f\text{'}\left(0\right)=2$.

4. En déduire la valeur de ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}{e}^{3x}\sin \left(2x\right)dx$.

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

1. Résoudre dans l’ensemble $\mathrm{ℂ}$ l’équation $z^2-6\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)z+9=0$.

On notera $z_1$ et $z_2$ les solutions trouvées, z1 étant la solution de partie imaginaire positive.

2. Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$, puis donner l’écriture exponentielle de $z_1$ et de $z_2$.

3. Résoudre l’équation différentielle suivante : $y"-6\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)y\text{'}+9y=0$

III- Exercices

3-6/ Exercice 6

On considère l’équation suivante : $\left(E\right): z\in \mathrm{ℂ} , z^2-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}z+1=0$

1. Montrer que : $\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

2. Déterminer $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de l’équation $\left(E\right)$ avec $Im\left(z_1\right)>0$.

3. En déduire les solutions de l’équation différentielle suivante : $\left(E\right): 2y"-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)y\text{'}+2y=0$

4. Donner l’écriture trigonométrique de $z_1$ et $z_2$.