Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM

Séance 13 (Équations différentielles)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

I- Équation différentielle de la forme y'=ay+b

1-1/ Propriété 1

1-2/ Propriété 2

II- Équation différentielle de la forme y"+ay'+by=0

2-1/ Définition

2-2/ Propriété

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

 


I- Équation différentielle de la forme y'=ay+b

 

1-1/ Propriété 1

Soit l’équation différentielle E : y'=ay+b.

Cas général (a0)

l’ensemble des solutions de l’équation différentielle E sont les fonctions de la forme fx=α.eax-ba avec α.

Cas particulier 1 (a=0 ; b=0)

l’équation E est y'=0, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle E sont les fonctions de la forme fx=c.

Cas particulier 2 (a=0 ; b0)

l’équation E est y'=b, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle E sont les fonctions de la forme fx=bx+α avec α.

 

 

1-2/ Propriété 2

Soit l’équation différentielle E : y'=ay+b avec (a0).

Il existe une et une seule fonction fx qui est solution de l’équation E et qui vérifie la condition initiale fx0=y0  ;  x0,y0.

 

II- Équation différentielle de la forme y"+ay'+by=0

 

2-1/ Définition

L'équation différentielle de la forme y"+ay'+by=0 tel que l’inconnue est la fonction y avec y' sa dérivée première et y" sa dérivée seconde, s’appelle équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constant sans seconde membre.

L’équation r2+ar+b=0 r s’appelle l’équation caractéristique de l’équation y"+ay'+by=0.

Le nombre Δ=a2-4b s’appelle le discriminant de l’équation caractéristique.

 

 

2-2/ Propriété

La solution générale de l’équation différentielle E : y"+ay'+by=0 dépend du signe de Δ.

Cas 1 : Δ>0

L’équation caractéristique a deux solutions réelles sont r1 et r2.

D’où la solution générale de E sont les fonctions de la forme yx=αer1x+βer2x ;  α,β.

Cas 2 : Δ=0

L’équation caractéristique a une solution réelle r1.

D’où la solution générale de E sont les fonctions de la forme yx=αx+βer1x ;  α,β.

Cas 3 : Δ<0

L’équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées r1=p+qi et r2=r1=p-qi.

D’où la solution générale de E sont les fonctions de la forme yx=αcosqx+βsinqxepx ;  α,β.

 

III- Exercices

 

3-1/ Exercice 1

  1. Résoudre les équations différentielles suivantes :

5y'=0y'=-8y

  1. Résoudre y'=5y+1 puis déterminer la solution qui vérifie la condition g0=2
  1. Résoudre E : y'+2y=0
  1. Montrer que y0=e-3x est solution de l’équation E' : y'+2y=-e-3x.

 

 

3-2/ Exercice 2

  1. Résoudre les équations différentielles suivantes :

E1 : 4y''-4y'+y=0E2 : y''-2y'+5y=0

  1. Résoudre l’équation E : y''-3y'+2y=0
  1. Déterminer la solution qui vérifie les conditions g0=-3 et g'0=-2.

 

 

3-3/ Exercice 3

Résoudre les équations différentielles suivantes :

E1 : y'=2x-1+4xy1=-7E2 : 2y'+14y=5y0=1E3 : y''+y'-2y=0y0=0 et y'0=-3

 

 

3-4/ Exercice 4

  1. Résoudre dans l’ensemble  l’équation z2-6z+13=0.
  1. Résoudre l’équation différentielle suivante E : y''-6y'+13y=0.
  1. Déterminer la fonction f solution de E tel que f0=0 et f'0=2.
  1. En déduire la valeur de 0πe3xsin2xdx.

 

 

3-5/ Exercice 5

  1. Résoudre dans l’ensemble  l’équation z2-6cosπ6z+9=0.

On notera z1 et z2 les solutions trouvées, z1 étant la solution de partie imaginaire positive.

  1. Déterminer le module et un argument de z1 et de z2, puis donner l’écriture exponentielle de z1 et de z2.
  1. Résoudre l’équation différentielle suivante : y"-6cosπ6y'+9y=0

 

 

3-6/ Exercice 6

On considère l’équation suivante : E: z , z2-2+62z+1=0

  1. Montrer que : 2-3=6-22
  1. Déterminer z1 et z2 les deux solutions de l’équation E avec Imz1>0.
  1. En déduire les solutions de l’équation différentielle suivante : E: 2y"-6+2y'+2y=0
  1. Donner l’écriture trigonométrique de z1 et z2.