Math 2Bac Eco-SGC - Semestre 2 Devoir 1 Modèle 1

I- Exercice 1 (15 pts)

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par : $g\left(x\right)=x-1+\ln \left(x\right)$

1. Calculer $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in ]0,+\infty [$ puis déduire leur signe.

2. Calculer $g\left(1\right)$ puis donner le tableau de variation de $g$ (le calcul des limites n’est pas demandé).

3. En déduire que $g\left(x\right)\ge 0$0 sur $[1,+\infty [$ et $g\left(x\right)\le 0$ sur $]0,1]$.

Partie 2

On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty [$ par $f\left(x\right) =\left(\frac{x-1}{x}\right)\ln \left(x\right)$

Soit $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans.un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

4. Montrer que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, puis interpréter géométriquement le résultat.

5. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=0$, puis interpréter géométriquement le résultat.

6. Montrer que $f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x^2}$ pour tout $x\in ]0,+\infty [$.

7. Étudier le signe de $f\text{'}\left(x\right)$ puis donner le tableau de variation de la fonction $f$.

8. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $e$.

9. Tracer $\left(C_f\right)$.

Partie 3

10. Montrer que $H : x\to \frac{1}{2}{\ln }^{2}x$ est une fonction primitive de la fonction $h : x\to \frac{\ln x}{x}$

11. Vérifier que la fonction $F$ définie sur $]0,+\infty [$ par $F\left(x\right)=x\ln x-x$ est une fonction primitive de la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty [$ par $f\left(x\right)=\ln x$.

I- Exercice 2 (5 pts)

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation :

$t^2-3t+2=0$

2. Déduire dans $]0,+\infty [$ les solutions de l’équation  :

${\left(\ln x\right)}^2-3\ln x+2=0$

3. Déduire dans $]0,+\infty [$ l’ensemble des solutions de l’inéquation :

${\left(\ln x\right)}^2-3\ln x+2<0$