Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Séance 10 (Fonctions exponentielles)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I-  Fonction exponentielle népérienne

1-1/ Définition

1-2/ Conséquence

1-3/ Propriétés

1-4/ Propriétés algébriques

1-5/ Courbe représentative de la fonction exponentielle

1-6/ Limites usuelles

1-7/ Dérivée de la fonction exponentielle

II- Exponentielle de base a

2-1/ Définition

2-2/ Propriété

2-3/ Étude de la fonction exponentielle de base a

2-4/Dérivée de la fonction exponentielle de base a

2-5/ Tableau de variations

2-6/ Courbes

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

 


I- Fonction exponentielle népérienne

 

1-1/ Définition

On appelle fonction exponentielle népérienne notée Exp, la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

exp : ]0,+[          xexpx

 


I- Fonction exponentielle népérienne

 

1-2/ Conséquence

- Les fonctions Ln et exp sont des fonctions réciproques l’une de l’autre, pour tout x>0 et pour tout réel y :

lnx=yexpy=x

- Pour tout réel x  on écrit aussi : x : expx=ex

Exemple

 

 


I- Fonction exponentielle népérienne

 

1-3/ Propriétés

 

  e0=1 et e1=e   e-1=1e1 et e=e12x ; lnex=xx>0 ; elnx=xxy>0 ; lny=xex=yx,y ; ex=eyx=yx,y ; ex>eyx>y

Exemple

 

 


I- Fonction exponentielle népérienne

 

1-4/ Propriétés algébriques

Pour tous réels x et y et por tout nombre rationnel r on a :

ex×ey=ex+ye-x=1exexey=ex-yexr=exr

Exemple

 

 


I- Fonction exponentielle népérienne

 

1-5/ Courbe représentative de la fonction exponentielle

 

On a vu que la fonction exponentielle népérienne est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

Donc la courbe de la fonction exp notée Cexp et la courbe de la fonction ln notée Cln sont symétriques par rapport a la droite (D) d’équation y=x,bien entendu, dans un repère orthonormal

La figure ci-dessous donne les représentations graphiques des deux fonctions :

 


 

I- Fonction exponentielle népérienne

 

1-6/ Limites usuelles

 

limx+ex=+limx+exx=+limx+exxn=+ n*limx-ex=0limx-xex=0limx-xnex=0 n*limx0ex-1x=1

Exemple

 

 

 


I- Fonction exponentielle népérienne

 

1-7/ Dérivée de la fonction exponentielle

Propriété

la fonction xex est dérivable sur  et x ex'=ex .

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Alors xex est dérivable sur I et x eux'=u'xeux

Remarque

Soit U une fonction dérivable sur un intervalle I.

Les primitives sur I de la fonction xu'xeux sont les fonctions xeux+λ λ.

Exemple

 

 


II- Exponentielle de base a

 

2-1/ Définition

Soit a un réel strictement positif et différent de 1.

On appelle fonction exponentielle de base a, la fonction expa qui à tout réel x associe le réel ax tel que expax=ax=exlna.

Remarque

L’ensemble de définition de ax est , l’exigence de stricte positivité et différent de 1 ne porte que sur a et l’égalité ax=exlna permet de comprendre pourquoi (condition d’existence d’un logarithme).

Lorsque a=e, on retrouve la fonction exp.

Pour tout réel strictement positif a et différent de 1, et pour tout réel x, on a ax>0

Pour tout réel strictement positif a et différent de 1, et pour tout réel x, on a lnax=xlna

Exemple

 

 


II- Exponentielle de base a

 

2-2/ Propriété

Pour tous nombres réel strictement positifs a et b, et pour tous réel x et y on a :

a0=1    ;    a1=a    ;    ax×ay=ax+yax×bx=a×bx    ;    axy=axyaxay=ax-y    ;    1ax=a-x

Exemple

 

 


II- Exponentielle de base a

 

2-3/ Dérivée de la fonction exponentielle de base a

Propriété

Soit a un réel strictement positif.

La fonction exponentielle de base a est dérivable sur +*, et pour tout réel x on a :

ax'=exlna=lna.ax

Exemple

 

 

 


II- Exponentielle de base a

 

2-4/  Tableau de variations

Soit a un réel strictement positif et différent de 1.

Cas 1 : 0<a<1

Alors, ln(a)<0 d’où ax'<0, donc la fonction xax est décroissante sur .

De plus limx+ax=limx+exlna=0 et limx-ax=limx-exlna=+.

Cas 2 : a>1

Alors, ln(a)>0 d’où ax'>0, donc la fonction xax est croissante sur .

De plus limx+ax=limx+exlna=+ et limx-ax=limx-exlna=0.

 


II- Exponentielle de base a

 

2-5/ Les représentations graphiques de x0,5x et  x2x 

 


III- Exercices

 

3-1/ Exercice 1

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction numérique g d’une variable réelle x définie sur  par :

gx=exx-1+1

  1. Montrer que pour tout x on a g'x=xex.
  1. Étudier le signe de g'x pour tout x.
  1. Calculer g0 et dresser le tableau de variations de g (le calcul de limites n’est pas demandé).
  1. Déduire que gx0 pour tout x.
Partie B - Étude de la fonction

Soit fla fonction numérique d’une variable réelle x définie sur  par :

fx=xex-2ex+x

On appelle (Cf) la courbe représentative de  dans un repère orthonormé (O,i,j) d’unité graphique 2cm.

  1. Montrer que limx+fx=+
  1. Montrer que limx+fxx=+ puis interpréter géométriquement ce résultat.
  1. Montrer que limx-fx=- (on rappelle que limx-xex=0)
  1. Montrer que limx-fxx=1 et que limx-fx-x=0, puis interpréter géométriquement ce résultat.
  1. Montrer que pour tout x on a f'x=gx.
  1. Déduire le signe de f'x sur  et dresser le tableau de variations de f.
  1. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une seule solution α telle que 32<α<2.
  1. Montrer que f''x=xex pour tout x, et en déduire que la courbe (Cf) admet un point d’inflexion I(0 ;-2).

 


III- Exercices

 

3-2/ Exercice 2

On considère la fonction f définie sur  par : fx=x-2-e-x

  1. Calculer limx+fx.
  1. Montrer que la droite Δ : y=x-2 est une asymptote oblique à (Cf) quand x+.
  1. Vérifier que fx=x1-2x-1xex pour tout x*.
  1. Déduire limx-fx puis interpréter le résultat.
  1. Étudier la position relative de (Cf) et la droite Δ : y=x-2.
  1. Calculer f'x pour tout x.
  1. Donner le tableau de variations de f.
  1. Tracer (Cf).

 


III- Exercices

 

3-3/ Exercice 3

On considère la fonction f définie sur  par : fx=x-12ex

soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j).

  1. Calculer limx+fx.
  1. Calculer limx+fxx puis interpréter géométriquement le résultat.
  1. Vérifier que fx=x-1x2x2ex pour tout x*.
  1. Montrer que limx-fx=0 puis interpréter géométriquement le résultat.
  1. Montrer que f'x=x2-1ex pour tout x.
  1. Étudier le signe de f'x sur  puis calculer f(1) et f(1) et dresser le tableau de variation de f.
  1. Montrer que F définie par Fx=x2-4x+5ex est une fonction primitive de la fonction f sur .
  2. tracer  (Cf) 
  3. Déterminer géométriquement le nombre de solutions de l’équation fx=1.

 

 


III- Exercices

 

3-4/ Exercice 4

Partie I

Soit la fonction numérique g d’une variable réelle x définie sur  par : gx=2+xex

  1. Calculer limx+gx et limx-gx.
  1. Calculer g'x pour tout x puis déduire le signe.
  1. En déduire que gx>0 sur .
Partie II

Soit f la fonction numérique d’une variable réelle x définie sur  par : fx=2x+x-1ex

Et soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j).

  1. Montrer que limx-fx=+ et limx-fx-2x=0, puis interpréter géométriquement le résultat.
  1. Montrer que limx+fx=+ et limx+fxx=+, puis interpréter géométriquement le résultat.
  1. Étudier la position relative de la droite Δ: y=2x et (Cf).
  1. Montrer que f'x=gx pour tout x.
  1. Étudier le signe de f'x puis donner le tableau de variation de la fonction f.
  1. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
  1. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une seule solution α tel que 0<α<1.
  1. Tracer (Cf) et Δ.

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