Séance 11 - Triangle rectangle et cercle

Sommaire

I- Milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle

1-1/ Propriété directe

1-2/ Propriété réciproque

II- Cercle circonscrit à un triangle rectangle

2-1/ Propriété directe

2-2/ Propriété réciproque

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

I- Milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle

1-1/ Propriété directe

Si un triangle est rectangle, alors le milieu de son hypoténuse estéquidistant aux sommets de ce triangle.

Exemple

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$, et $I$ le milieu du segment $\left[BC\right]$.

Donc : $IA=IB=IC$

I- Milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle

1-2/ Propriété réciproque

Si dans un triangle le milieu de l’un de ses côté est équidistant à ses sommets, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé à ce côté.

Autrement dit

$ABC$ est un triangle rectangle et $I$ le milieu du segment $\left[BC\right]$.

Si $IA=IB=IC$, alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

Exemple

II- Cercle circonscrit à un triangle rectangle

2-1/ Propriété directe

Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.

Exemple

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$, et $I$ le milieu du segment $\left[BC\right]$.

Donc : $IA=IB=IC$, alors $I$ est le centre du cercle circonscrit du triangle $ABC$.

II- Cercle circonscrit à un triangle rectangle

2-2/ Propriété réciproque

Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé à ce côté.

Autrement dit

Si $ABC$ est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre $\left[BC\right]$, alors ce triangle est rectangle en $A$.

Exemple

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $BC=8cm$.

Et soit E le milieu de $\left[BC\right]$.

1. Tracer la figure.

2. Montrer que $AEC$ est un triangle isocèle.

3. Déduire la longueur $EA$.

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

$ABC$ est un triangle rectangle en A tel que $\widehat{ABC}=20°$, et le point $I$ est le milieu de $\left[BC\right]$.

1. Calculer l’angle $\widehat{AIB}$.

2. Calculer l’angle $\widehat{IAH}$ tel que $H$ représente le projeté orthogonal du point $A$ sur $\left(BC\right)$.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

Soit $AEB$ un triangle isocèle en $E$ tel que $\widehat{EAB}=50°$, et soit $C$ le symétrique de $A$ par rapport à $E$.

1. Tracer la figure.

2. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.

3. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{ACB}$.

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

$ABC$ est un triangle et $\left(AH\right)$ est la hauteur relative à la côte $\left[BC\right]$.

Soit le point $O$ le milieu de la côte $\left[AB\right]$.

1. Dessiner la figure.

2. Prouver que le point $O$ est le centre du cercle circonscrit du triangle $ABH$.

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

$\left(C\right)$ est un cercle de centre $O$ et $(C’)$ est un cercle de centre $O\text{'}$.

Les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent au cercle (C), et les points $E$, $F$ et $C$ appartiennent au cercle $(C’)$ :

1. Prouver que : $\left(AB\right) \parallel \left(EF\right)$

III- Exercices

3-6/ Exercice 6

Le cercle de centre $N$ et de diamètre $\left[AB\right]$ coupe le cercle de centre $M$ et de diamètre $\left[AC\right]$ en deux points distincts $A$ et $D$ :

1. Démontrer que les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés.