Séance 9 - Fonctions logarithmiques

Sommaire

I- Fonction Logarithme Népérien

1-1/ Définition

1-2/ Propositions 1

1-3/ Propositions 2

1-4/ Propositions 3

1-5/ Limites Fondamentales

1-6/  Étude et représentation

1-7/ Dérivée Logarithmique

II- Fonction Logarithmique de base $a$

2-1/ Définition

2-2/ Propriétés

2-3/ Étude de la fonction ${\log }_a$

III- Fonction Logarithme décimal

3-1/ Définition

3-2/ Propriétés

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

I- Fonction Logarithme Népérien

1-1/ Définition

La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction $x\to \frac{1}{x}$ sur l’intervalle $]0,+\infty [$ qui s’annule en $1$.

On la note $\ln$

Le domaine de définition de la fonction $\ln$ est $]0,+\infty [$, et $\ln \left(1\right)=0$.

La fonction $\ln$ est continue et dérivable sur $]0,+\infty [$, et $\ln \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

I- Fonction Logarithme Népérien

1-2/ Propositions 1

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$. On a alors :

Pour tout $x,y\in ]0,+\infty [$, on a $\ln \left(x\right)<\ln \left(y\right)\iff x<y et \ln \left(x\right)=\ln \left(y\right)\iff x=y$

Pour tout $x,y\in ]0,+\infty [$, on a

$$\begin{gathered} \ln \left(x\right)=0\iff x=1 \\ \ln \left(x\right)<0\iff x<1 \\ \ln \left(x\right)>0\iff x>1 \end{gathered}$$

Exemple

I- Fonction Logarithme Népérien

1-3/ Propositions 2

Pour tout $x,y\in ]0,+\infty [$, et pour tout $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ on a :

$$\begin{gathered} \ln \left(xy\right)=\ln \left(x\right)+\ln \left(y\right) \\ \ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right) \\ \ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln \left(x\right) \\ \ln \left(x^r\right)=r.\ln \left(x\right) \\ \ln \left(\sqrt{x}\right)=\frac{1}{2}.\ln \left(x\right) \end{gathered}$$

Exemple

I- Fonction Logarithme Népérien

1-4/ Propositions 3

L’équation $\ln \left(x\right)=1$ admet une unique solution dans $]0,+\infty [$. On la note : $e$

On a : $\ln \left(x\right)=1\iff x=e$

À l’aide de la calculatrice, on trouve comme valeur approchée de $e$ : $e=2,718281828$

On a $\ln \left(e^r\right)=r ; \left(r\in \mathrm{\mathbb{Q}}\right)$

Pour tout $x>0$, on a $\ln \left(x\right)=r\iff x=e^r$

Exemple

I- Fonction Logarithme Népérien

1-5/  Limites Fondamentales

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(x\right)=+\infty \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln \left(x\right)=-\infty \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln \left(x\right)=0 \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln \left(x\right)}{x}=0^{+} \\ \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln \left(x\right)}{x-1}=1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(x+1\right)}{x}=1 \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln \left(x\right)}{x^r}=0 ; \left(r\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^r.\ln \left(x\right)=0 ; \left(r\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \end{gathered}$$

I- Fonction Logarithme Népérien

1-6/ Étude et représentation

Soit $D_f$ le domaine de définition de la fonction ln, On a $D_f=]0,+\infty [$

Soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ la courbe représentative de la fonction ln dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

On a $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln \left(x\right)=-\infty$, alors la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet l’axe des ordonnées comme asymptote.

On a $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{ln\left(x\right)}{x}=0$, alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet une branche parabolique dirigée vers l’axe des abscisses.

Concavité

On a $\forall x\in ]0,+\infty [ , \ln \text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-1}{x^2}$, alors la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est concave sur $]0,+\infty [$

De plus $\ln \left(1\right)=0$ et $\ln \left(e\right)=1$.

Tableau de variations de la fonction $\ln$

Courbe de la fonction $\ln$

I- Fonction Logarithme Népérien

1-7/  Dérivée Logarithmique

Proposition 1

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$ telle que : $\forall x\in I : u\left(x\right)\ne 0$

Alors la fonction $x\to \ln \left(\left|u\left(x\right)\right|\right)$ est dérivable sur $I$, et on a : $\ln \text{'}\left(\left|u\left(x\right)\right|\right)=\frac{u\text{'}\left(x\right)}{u\left(x\right)}$.

Exemple

I- Fonction Logarithme Népérien

1-7/  Dérivée Logarithmique

Proposition 2

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$ telle que : $\forall x\in I : u\left(x\right)\ne 0$

Les primitives de la fonction $x\to \frac{u\text{'}\left(x\right)}{u\left(x\right)}$ sur $I$ sont les fonctions $x\to \ln \left(\left|u\left(x\right)\right|\right)+c \left(c\in \mathrm{ℝ}\right)$

Exemple

II- Fonction Logarithmique de base $a$

2-1/ Définition

Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$.

La fonction logarithme de base $a$ est la fonction numérique notée par ${\log }_a\left(x\right)$ et définie sur $]0,+\infty [$ par : ${\log }_a\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(a\right)}$.

Remarques

La fonction Logarithme de base $e$ est la fonction logarithme népérien car : ${\log }_e\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(e\right)}=\ln \left(x\right)$

On a : ${\log }_a\left(a\right)=\frac{\ln \left(a\right)}{\ln \left(a\right)}=1 ; {\log }_a\left(1\right)=0 ; {\log }_a\left(a^r\right)=r$

Exemple

II- Fonction Logarithmique de base $a$

2-2/ Propriétés

Pour tout $x,y\in ]0,+\infty [$, et pour tout $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ on a :

$$\begin{gathered} {\log }_a\left(xy\right)={\log }_a\left(x\right)+{\log }_a\left(y\right) \\ {\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_a\left(x\right)-{\log }_a\left(y\right) \\ {\log }_a\left(\frac{1}{x}\right)=-{\log }_a\left(x\right) \\ {\log }_a\left(x^r\right)=r.{\log }_a\left(x\right) \end{gathered}$$

Exemple

II- Fonction Logarithmique de base $a$

2-2/Étude de la fonction ${\log }_a$

Soit $a\in {{\mathrm{ℝ}}^{*}}_{+}-\left\{1\right\}$

Si $a>1$, alors la fonction ${\log }_a$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$.

Si $0<��<1$, alors la fonction ${\log }_a$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty [$.

III- Fonction Logarithme décimal

3-1/ Définition

La fonction logarithme décimal est la fonction logarithmique de base $10$.

Elle est notée $\log \left(x\right)$ .

On a : $\forall x\in ]0,+\infty [ : \log \left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(10\right)}$

III- Fonction Logarithme décimal

3-2/ Propriétés

Pour tout $x\in ]0,+\infty [$, et pour tout $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ on a :

$$\begin{gathered} \log \left(x\right)=r\iff x={10}^r \\ \log \left(x\right)>r\iff x>{10}^r \\ \log \left(x\right)\le r\iff x\le {10}^r \end{gathered}$$

Exemple

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0,+\infty [$ par : $g\left(x\right)=3x^2-6\ln x+6$

1. Étudier les variations de la fonction $g$.

2. Déduire le signe de $g$ sur l’intervalle $]0,+\infty [$.

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0,+\infty [$ par : $f\left(x\right)=3x-2+\frac{6\ln x}{x}$

Et soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

3. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

4. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

5. Montrer que la droite $\left(\Delta \right)$ d’équation $��=3x-2$ est une asymptote oblique à la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au voisinage de $+\infty$.

6. Étudier la position relative de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ par rapport à $\left(\Delta \right)$.

7. Montrer que $\forall x\in ]0,+\infty [ : f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x^2}$

8. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0,+\infty [$.

9. Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\left[\frac{1}{2},1\right]$.

10. Tracer $\left(\Delta \right)$ et la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

IV- Exercices

4-2/ Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie par : $f\left(x\right)=\frac{2x+1+\ln x}{x}$

Et soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Déterminer $D_f$ l’ensemble de définition de $f$.

2. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

3. Étudier les branches infinies de la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $D_f$.

5. Montrer que :$\forall x\in D_f : f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{2\ln x-1}{x^2}$

6. Étudier la concavité de la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

7. Tracer $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0,+\infty [$ par : $f\left(x\right)={\ln }^2\left(x\right)-\ln \left(x\right)+x$

Et soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

2. Étudier la branche infinie de la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au voisinage de $+\infty$.

3. Montrer que $\forall x\in ]0,+\infty [ : f\text{'}\left(x\right)=\frac{x-1+2\ln x}{x}$.

4. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]1,+\infty [$, et strictement décroissante sur $]0,1[$.

5. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0,+\infty [$.

On note $\left(D\right)$ la droite d’équation $y=x$.

6. Résoudre dans $]0,+\infty [$ l’équation suivante : $\ln \left(x\right)\left(\ln \left(x\right)-1\right)=0$

7. Étudier la position relative de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ par rapport à $\left(D\right)$ sur $]0,+\infty [$.

8. Calculer $f\text{'}\text{'}$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$.

9. Montrer que le point d’abscisse $x=e^{\frac{3}{2}}$ est un point d’inflexion de la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

10. Tracer $\left(D\right)$ et la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=\sqrt{e}\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right) , \forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}\right.$

11. Montrer que : $\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}} ; 1\le u_n\le \sqrt{e}$.

12. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

13. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

IV- Exercices

4-4/ Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=\frac{1}{x\ln x}$

1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.

2. En déduire les asymptotes à sa courbe $\left(C_f\right)$.

3. Dresser le tableau de variation de $f$.

4. Tracer $\left(C_f\right)$ ainsi que sa tangente au point d'abscisse $e$.