Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Séance 9 (Fonctions logarithmiques)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Fonction Logarithme Népérien

1-1/ Définition

1-2/ Propositions 1

1-3/ Propositions 2

1-4/ Propositions 3

1-5/ Limites Fondamentales

1-6/  Étude et représentation

1-7/ Dérivée Logarithmique

1-8.1/ Proposition 1
1-8.2/  Proposition 2

II- Fonction Logarithmique de base a

2-1/ Définition

2-2/ Propriétés

2-3/ Étude de la fonction loga

III- Fonction Logarithme décimal

3-1/ Définition

3-2/ Propriétés

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

 


I- Fonction Logarithme Népérien

 

1-1/ Définition

La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction x1x sur l’intervalle ]0,+[ qui s’annule en 1.

On la note ln

Le domaine de définition de la fonction ln est ]0,+[, et ln1=0.

La fonction ln est continue et dérivable sur ]0,+[, et ln'x=1x.

 

 

 


I- Fonction Logarithme Népérien

 

1-2/ Propositions 1

La fonction ln est strictement croissante sur ]0,+[. On a alors :

Pour tout x,y]0,+[, on a lnx<lnyx<y et lnx=lnyx=y

Pour tout x,y]0,+[, on a

 lnx=0x=1    lnx<0x<1   lnx>0x>1

Exemple

 

 


I- Fonction Logarithme Népérien

 

1-3/ Propositions 2

Pour tout x,y]0,+[, et pour tout r on a :

lnxy=lnx+lnylnxy=lnx-lnyln1x=-lnxlnxr=r.lnxlnx=12.lnx

Exemple

 

 


I- Fonction Logarithme Népérien

 

1-4/ Propositions 3

L’équation ln(x)=1 admet une unique solution dans ]0,+[. On la note : e

On a : lnx=1x=e

À l’aide de la calculatrice, on trouve comme valeur approchée de e : e=2,718281828

On a lner=r ; r

Pour tout x>0, on a lnx=rx=er

Exemple

 

 


I- Fonction Logarithme Népérien

 

1-5/  Limites Fondamentales

 

 

limx+lnx=+limx0+lnx=-limx0+xlnx=0limx+lnxx=0+limx1lnxx-1=1limx0lnx+1x=1limx+lnxxr=0 ; r*limx0+xr.lnx=0 ; r*

 


I- Fonction Logarithme Népérien

 

1-6/ Étude et représentation

 


Soit Df le domaine de définition de la fonction ln, On a Df=]0,+[

Soit Cf la courbe représentative de la fonction ln dans un repère orthonormé O,i,j.

On a limx0+lnx=-, alors la courbe Cf admet l’axe des ordonnées comme asymptote.

On a limx+lnx=+ et limx+lnxx=0, alors Cf admet une branche parabolique dirigée vers l’axe des abscisses.

Concavité

On a x]0,+[ , ln''x=-1x2, alors la courbe Cf est concave sur ]0,+[

De plus ln1=0 et lne=1.

Tableau de variations de la fonction ln

Courbe de la fonction ln

 

 


I- Fonction Logarithme Népérien

 

1-7/  Dérivée Logarithmique

1.7-1/ Proposition 1

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de  telle que : xI : ux0

Alors la fonction xlnux est dérivable sur I, et on a : ln'ux=u'xux.

Exemple

 

 


I- Fonction Logarithme Népérien

 

1-7/  Dérivée Logarithmique

1.7-1/ Proposition 2

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de  telle que : xI : ux0

Les primitives de la fonction xu'xux sur I sont les fonctions xlnux+c c

Exemple

 

 

 


II- Fonction Logarithmique de base a

 

2-1/ Définition

Soit a un réel strictement positif et différent de 1.

La fonction logarithme de base a est la fonction numérique notée par logax et définie sur ]0,+[ par : logax=lnxlna.

Remarques

La fonction Logarithme de base e est la fonction logarithme népérien car : logex=lnxlne=lnx

On a : logaa=lnalna=1  ;  loga1=0  ;  logaar=r

Exemple

 

 


II- Fonction Logarithmique de base a

 

2-2/ Propriétés

Pour tout x,y]0,+[, et pour tout r on a :

logaxy=logax+logaylogaxy=logax-logayloga1x=-logaxlogaxr=r.logax

Exemple

 

 


II- Fonction Logarithmique de base a

 

2-2/Étude de la fonction loga

 

Soit a*+-1

Si a>1, alors la fonction loga est strictement croissante sur ]0,+[.

Si 0<��<1, alors la fonction loga est strictement décroissante sur ]0,+[.

 


III- Fonction Logarithme décimal

 

3-1/ Définition

La fonction logarithme décimal est la fonction logarithmique de base 10.

Elle est notée logx .

On a : x]0,+[ : logx=lnxln10

 

 

 


III- Fonction Logarithme décimal

 

3-2/ Propriétés

Pour tout x]0,+[, et pour tout r on a :

logx=rx=10rlogx>rx>10rlogxrx10r

Exemple

 

 

 


IV- Exercices

 

4-1/ Exercice 1

Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0,+[ par : gx=3x2-6lnx+6

  1. Étudier les variations de la fonction g.
  1. Déduire le signe de g sur l’intervalle ]0,+[.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0,+[ par : fx=3x-2+6lnxx

Et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i,j.

  1. Calculer limx0+fx, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  1. Calculer limx+fx.
  1. Montrer que la droite Δ d’équation ��=3x-2 est une asymptote oblique à la courbe Cf au voisinage de +.
  1. Étudier la position relative de Cf par rapport à Δ.
  1. Montrer que x]0,+[ : f'x=gxx2
  1. Dresser le tableau de variations de f sur ]0,+[.
  1. Montrer que l’équation fx=0 admet une solution unique α dans 12,1.
  1. Tracer Δ et la courbe Cf dans le repère O,i,j.

 


IV- Exercices

 

4-2/ Exercice 2

Soit f la fonction définie par : fx=2x+1+lnxx

Et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i,j.

  1. Déterminer Df l’ensemble de définition de f.
  1. Calculer limx0+fx et limx+fx.
  1. Étudier les branches infinies de la courbe Cf.
  1. Dresser le tableau de variations de f sur Df.
  1. Montrer que :xDf : f''x=2lnx-1x2
  1. Étudier la concavité de la courbe Cf.
  1. Tracer Cf dans le repère O,i,j.

 


IV- Exercices

 

4-3/ Exercice 3

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0,+[ par : fx=ln2x-lnx+x

Et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i,j.

  1. Calculer limx0+fx, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  1. Étudier la branche infinie de la courbe Cf au voisinage de +.
  1. Montrer que x]0,+[ : f'x=x-1+2lnxx.
  1. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur ]1,+[, et strictement décroissante sur ]0,1[.
  1. Dresser le tableau de variations de f sur ]0,+[.

On note D la droite d’équation y=x.

  1. Résoudre dans ]0,+[ l’équation suivante : lnxlnx-1=0
  1. Étudier la position relative de Cf par rapport à D sur ]0,+[.
  1. Calculer f'' pour tout x de ]0,+[.
  1. Montrer que le point d’abscisse x=e32 est un point d’inflexion de la courbe Cf.
  1. Tracer D et la courbe Cf dans le repère O,i,j.

On considère la suite numérique un définie par : u0=eun+1=fun , n

  1. Montrer que : n ; 1une.
  1. Montrer que la suite un est décroissante.
  1. En déduire que la suite un est convergente et déterminer sa limite.

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