Mathématiques : 2 Bac SPC-SVT-STE-STM

Séance 10 (Fonctions exponentielles)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 


Sommaire

 

I- La fonction exponentielle népérienne fx=ex

1-1/ Définition

1-2/ Conséquences

1-3/ Propriétés

II- Propriétés algébriques

III- Limites

IV- Dérivée des fonctions fx=ex et fx=eux

4-1/ Théorème 1

4-2/ Théorème 2

V- Étude de la fonction fx=ex

VI- Fonction exponentielle de base a avec a]0,1[]1,+[

6-1/ Définition

6-2/ Remarques

6-3/ Conséquences

6-4/ Propriétés

6-5/ La courbe représentative de fx=ax avec a]0,1[]1,+[

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

 


I- La fonction exponentielle népérienne fx=ex

 

1-1/ Définition

La fonction f définie par f:]0,+[               xfx=lnx est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]0,+[ d’où f admet une fonction réciproque f-1.

On l’appelle fonction exponentielle népérienne et on la note par f-1=exp ou f-1=e  avec :

f-1:]0,+[         xf-1x=expx

 

 


I- La fonction exponentielle népérienne fx=ex

 

1-2/ Conséquences

La fonction exponentielle népérienne f-1=exp ou f-1=e est continue et strictement croissante sur , et la courbe de f et f-1 sont symétrique par rapport à la 1ère bissectrice (la droite d’équation y=x).

x : ex>0

La relation entre fx=lnx et f-1=ex est ex=yxx=lnyy>0.

 


I- La fonction exponentielle népérienne fx=ex

 

1-3/ Propriétés

ex=yxx=lnyy>0.

 

x>0 : elnx=x

 

x : lnex=x

 

x : ex>0

 

a,b : a=bea=eb

 

a,b : a>bea>eb

 


II- Propriétés algébriques

 

Soient a,b,x et r.

On a :

ea+b=ea×ebe-b=1ebea-b=eaebexr=erxex=e12xexn=e1nx

 


III- Limites

 

limx-ex=0+limx+ex=+limx-xex=0-limx-xnex=0 ; n*limx+exx=+limx+exxn=+ ; n*limx0ex-1x=1

 


IV- Dérivée des fonctions fx=ex et fx=eux

 

4-1/ Théorème 1

La fonction fx=ex est dérivable sur , et on a : x : ex'=ex.

Preuve

 

 


IV- Dérivée des fonctions fx=ex et fx=eux

 

4-2/ Théorème 2

Si la fonction ux est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction fx=eux est dérivable sur I et sa fonction dérivée est : f'x=eux'=u'xeux.

Exemples

 

 


V- Étude de la fonction fx=ex

 

Le tableau de variation de f :

La courbe représentative de f :

 


VI- Fonction exponentielle de base a avec a]0,1[]1,+[

 

6-1/ Définition

Soit a]0;1[]1;+[.

La fonction définie par :x>0 ; logax=lnxlna  est continue et strictement monotone sur ]0;+[.

Donc elle admet une fonction réciproque f-1, on l’appelle fonction exponentielle de base a et elle est définie par :

f-1 : ]0;+[          xf-1x=expax

Exemple

 

 


VI- Fonction exponentielle de base a avec a]0,1[]1,+[

 

6-2/ Remarques

x ; exlna=axx ; logaax=xx>0 ; alogax=xx ; 10x=yx=logy

 


VI- Fonction exponentielle de base a avec a]0,1[]1,+[

 

6-3/ Conséquences

Soit a]0;1[]1;+[ et la fonction fx=ax=exlna

La fonction f est continue et dérivable sur l’intervalle .

f'x=ax'=lna×exlna=lna×ax

D’où le signe de f'x est le signe de lna.

Si 0<a<1, alors fx=ax=exlna est strictement croissante, d’où : x,y : ax<ayx>y

Si a>1,  alors fx=ax=exlna est strictement décroissante, d’où : x,y : ax<ayx<y

Exemple

 

 


VI- Fonction exponentielle de base a avec a]0,1[]1,+[

 

 

6-4/ Propriétés

Soit a]0;1[]1;+[ et r et x,y

On a :

ax×ay=ax+yaxy=axy1ax=a-xaxay=ax-y

 

Exemples

 

 


VI- Fonction exponentielle de base a avec a]0,1[]1,+[

 

6-5/ La courbe représentative de fx=ax avec a]0,1[]1,+[

 


VII- Exercices

 

7-1/ Exercice 1

  1. Simplifier les expressions suivantes :

A=ex+e-x2-ex-e-x2B=ex-12e2x+2ex+1

  1. Montre que pour tout x de  on a :

e-x-1e-x+1=1-e-xex+11ex+1=e-xe-x+1

  1. Résoudre dans les équations suivantes :

1 e2x+ex-2=02 e2x+1+ex+1-2e=03 ex-2e-x+1=0

  1. Résolvez dans les inéquations suivantes :

1 e2x+ex-2<02 e2x+2ex-303 ex-1ex-20

 


VII- Exercices

 

7-2/ Exercice 2

Soit f la fonction définie sur  par : fx=e-x-12

On désigne par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité: 2cm)

  1. Calculer limx+fx et interpréter graphiquement le résultat.
  1. Montrer que l’axe des ordonnées est une direction parabolique de (Cf) au voisinage de -.
  1. Montrer que : x ; f'x=2e-x1-e-x
  1. Dresser le tableau de variation de f.
  1. Montrer que (Cf) admet un point d’inflexion .

Soit g la restriction de la fonction f sur [0,+[

  1. Montrer que g admet une fonction réciproque g-1 définie sur un intervalle J à déterminer.
  1. Montrer que : x0 ; g-1x=-ln1-x
  1. Tracer (Cf) et (Cg-1) dans le même repère.

 


VII- Exercices

 

7-3/ Exercice 3

Partie 1

Soit g la fonction définie sur  par : gx=ex-2x+2

  1. Calculer g'x pour tout x.
  1. Étudier le signe de g'x pour tout x et en déduire les variations de la fonction g (le calcul des limites n'est pas demandé).
  1. En déduire que gx>0 pour tout x.
Partie 2

Soit f la fonction définie par : fx=xe-x+x2+1

  1. Calculer limx-fx et limx-fxx et interpréter le résultat graphiquement.
  1. Calculer limx+fx et limx+fx-12x+1 et interpréter le résultat graphiquement.
  1. Étudier les positions relatives de la courbe (Cf) et la droite Δ d'équation y=12x+1.
  1. Montrer que f'x=gx2ex pour tout x .
  1. Dresser le tableau de variations de f.
  1. Montrer que l'équation fx=0 admet une solution unique α dans ]-1;0[.
  1. Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe (Cf) au point d'abscisse 0.
  1. Calculer f''x pour tout x, puis déterminer le point d'inflexion de la courbe (Cf).
  1. Tracer (Cf) dans un repère orthonormé (O,i,j). (On prend e2,7 et 2e20,27).

 


VII- Exercices

 

7-4/ Exercice 4

Partie 1

Soit g la fonction définie sur  par : gx=ex-x-1

  1. Calculer g'x pour tout x, puis étudier les variations de la fonction g.
  1. En déduire que gx>0 pour tout x*.
  1. Montrer que x>0 ; ex-1x>1 et que x<0 ; ex-1x<1.
  1. Montrer que g-x=e-x1+x-1ex.
  1. Déduire que x ; 1+x-1ex0.
Partie 2

Soit f la fonction définie sur * par : fx=x-1-xex-x-1

  1. Calculer limx+fx et limx-fx.
  1. Calculer limx0+fx et limx0-fx.
  1. Calculer x*: f'x, puis dresser le tableau de variations de f.
  1. Calculer limx+fx-x-1 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
  1. Calculer limx-fx-x et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
  1. Montrer que l'équation fx=0 admet une solution unique  α dans ]-2;-1[ et une solution unique β dans l'intervalle ]1;2[.
  1. Déduire que eα-α-1=αα-1.
  1. Tracer (Cf) dans un repère orthonormé (O,i,j) (On prends α=-1,3 et β=1,6)
Partie 3

Soit unn la suite définie par : u0=1un+1=gun ; n

14)Montrer par récurrence que n : 0un1.

15)Montrer que la suite un est croissante.

16)Montrer que la suite un est convergente et déterminer sa limite.

 


Affichage en Diaporama