Mathématiques : 2 Bac SPC-SVT-STE-STM

Séance 10 (Fonctions exponentielles)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

I- La fonction exponentielle népérienne fx=ex

1-1/ Définition

1-2/ Conséquences

1-3/ Propriétés

II- Propriétés algébriques

III- Limites

IV- Dérivée des fonctions fx=ex et fx=eux

4-1/ Théorème 1

4-2/ Théorème 2

V- Étude de la fonction fx=ex

VI- Fonction exponentielle de base a avec a]0,1[]1,+[

6-1/ Définition

6-2/ Remarques

6-3/ Conséquences

6-4/ Propriétés

6-5/ La courbe représentative de fx=ax avec a]0,1[]1,+[

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

7-5/ Exercice 5

7-6/ Exercice 6

 


I- La fonction exponentielle népérienne fx=ex

 

1-1/ Définition

La fonction f définie par f:]0,+[               xfx=lnx est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]0,+[ d’où f admet une fonction réciproque f-1.

On l’appelle fonction exponentielle népérienne et on la note par f-1=exp ou f-1=e  avec :

f-1:]0,+[         xf-1x=expx

 

 

 

1-2/ Conséquences

La fonction exponentielle népérienne f-1=exp ou f-1=e est continue et strictement croissante sur , et la courbe de f et f-1 sont symétrique par rapport à la 1ère bissectrice (la droite d’équation y=x).

x : ex>0

La relation entre fx=lnx et f-1=ex est ex=yxx=lnyy>0.

 

 

1-3/ Propriétés

ex=yxx=lnyy>0.

 

x>0 : elnx=x

 

x : lnex=x

 

x : ex>0

 

a,b : a=bea=eb

 

a,b : a>bea>eb

 

II- Propriétés algébriques

 

Soient a,b,x et r.

On a :

ea+b=ea×ebe-b=1ebea-b=eaebexr=erxex=e12xexn=e1nx

 

III- Limites

 

limx-ex=0+limx+ex=+limx-xex=0-limx-xnex=0 ; n*limx+exx=+limx+exxn=+ ; n*limx0ex-1x=1

 

IV- Dérivée des fonctions fx=ex et fx=eux

 

4-1/ Théorème 1

La fonction fx=ex est dérivable sur , et on a : x : ex'=ex.

Preuve

 

 

 

4-2/ Théorème 2

Si la fonction ux est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction fx=eux est dérivable sur I et sa fonction dérivée est : f'x=eux'=u'xeux.

Exemples

 

 

V- Étude de la fonction fx=ex

 

Le tableau de variation de f :

La courbe représentative de f :

 

VI- Fonction exponentielle de base a avec a]0,1[]1,+[

 

6-1/ Définition

Soit a]0;1[]1;+[.

La fonction définie par :x>0 ; logax=lnxlna  est continue et strictement monotone sur ]0;+[.

Donc elle admet une fonction réciproque f-1, on l’appelle fonction exponentielle de base a et elle est définie par :

f-1 : ]0;+[          xf-1x=expax

Exemple

 

 

 

6-2/ Remarques

x ; exlna=axx ; logaax=xx>0 ; alogax=xx ; 10x=yx=logy

 

 

6-3/ Conséquences

Soit a]0;1[]1;+[ et la fonction fx=ax=exlna

La fonction f est continue et dérivable sur l’intervalle .

f'x=ax'=lna×exlna=lna×ax

D’où le signe de f'x est le signe de lna.

Si 0<a<1, alors fx=ax=exlna est strictement croissante, d’où : x,y : ax<ayx>y

Si a>1,  alors fx=ax=exlna est strictement décroissante, d’où : x,y : ax<ayx<y

Exemple

 

 

 

 

6-4/ Propriétés

Soit a]0;1[]1;+[ et r et x,y

On a :

ax×ay=ax+yaxy=axy1ax=a-xaxay=ax-y

 

Exemples

 

 

 

6-5/ La courbe représentative de fx=ax avec a]0,1[]1,+[

 

VII- Exercices

 

7-1/ Exercice 1

  1. Simplifier les expressions suivantes :

A=ex+e-x2-ex-e-x2B=ex-12e2x+2ex+1

  1. Montre que pour tout x de  on a :

e-x-1e-x+1=1-e-xex+11ex+1=e-xe-x+1

  1. Résoudre dans les équations suivantes :

1 e2x+ex-2=02 e2x+1+ex+1-2e=03 ex-2e-x+1=0

  1. Résolvez dans les inéquations suivantes :

1 e2x+ex-2<02 e2x+2ex-303 ex-1ex-20

 

 

7-2/ Exercice 2

Soit f la fonction définie sur  par : fx=e-x-12

On désigne par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité: 2cm)

  1. Calculer limx+fx et interpréter graphiquement le résultat.
  1. Montrer que l’axe des ordonnées est une direction parabolique de (Cf) au voisinage de -.
  1. Montrer que : x ; f'x=2e-x1-e-x
  1. Dresser le tableau de variation de f.
  1. Montrer que (Cf) admet un point d’inflexion .

Soit g la restriction de la fonction f sur [0,+[

  1. Montrer que g admet une fonction réciproque g-1 définie sur un intervalle J à déterminer.
  1. Montrer que : x0 ; g-1x=-ln1-x
  1. Tracer (Cf) et (Cg-1) dans le même repère.

 

 

7-3/ Exercice 3

Partie 1

Soit g la fonction définie sur  par : gx=ex-2x+2

  1. Calculer g'x pour tout x.
  1. Étudier le signe de g'x pour tout x et en déduire les variations de la fonction g (le calcul des limites n'est pas demandé).
  1. En déduire que gx>0 pour tout x.
Partie 2

Soit f la fonction définie par : fx=xe-x+x2+1

  1. Calculer limx-fx et limx-fxx et interpréter le résultat graphiquement.
  1. Calculer limx+fx et limx+fx-12x+1 et interpréter le résultat graphiquement.
  1. Étudier les positions relatives de la courbe (Cf) et la droite Δ d'équation y=12x+1.
  1. Montrer que f'x=gx2ex pour tout x .
  1. Dresser le tableau de variations de f.
  1. Montrer que l'équation fx=0 admet une solution unique α dans ]-1;0[.
  1. Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe (Cf) au point d'abscisse 0.
  1. Calculer f''x pour tout x, puis déterminer le point d'inflexion de la courbe (Cf).
  1. Tracer (Cf) dans un repère orthonormé (O,i,j). (On prend e2,7 et 2e20,27).

 

 

7-4/ Exercice 4

Partie 1

Soit g la fonction définie sur  par : gx=ex-x-1

  1. Calculer g'x pour tout x, puis étudier les variations de la fonction g.
  1. En déduire que gx>0 pour tout x*.
  1. Montrer que x>0 ; ex-1x>1 et que x<0 ; ex-1x<1.
  1. Montrer que g-x=e-x1+x-1ex.
  1. Déduire que x ; 1+x-1ex0.
Partie 2

Soit f la fonction définie sur * par : fx=x-1-xex-x-1

  1. Calculer limx+fx et limx-fx.
  1. Calculer limx0+fx et limx0-fx.
  1. Calculer x*: f'x, puis dresser le tableau de variations de f.
  1. Calculer limx+fx-x-1 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
  1. Calculer limx-fx-x et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
  1. Montrer que l'équation fx=0 admet une solution unique  α dans ]-2;-1[ et une solution unique β dans l'intervalle ]1;2[.
  1. Déduire que eα-α-1=αα-1.
  1. Tracer (Cf) dans un repère orthonormé (O,i,j) (On prends α=-1,3 et β=1,6)
Partie 3

Soit unn la suite définie par : u0=1un+1=gun ; n

14)Montrer par récurrence que n : 0un1.

15)Montrer que la suite un est décroissante.

16)Montrer que la suite un est convergente et déterminer sa limite.

 

 

7-5/ Exercice 5

Partie I

Soit g la fonction définie sur  par : g(x)=1-x+1e-x

  1. Montrer que : x g'x=xe-x
  1. Montrer que g est croissante sur [0;+[ et décroissante sur ]-;0].
  1. Calculer g(0) et en déduire que x gx0.
Partie II

Soit f la fonction définie sur  par : f(x)=x-1+x+2e-x

Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O,i,j (unité : 2 cm)

  1. Montrer que limx+fx=+ et limx-fx=-.
  1. Montrer que la droite D d’équation y=x-1 est asymptote à C au voisinage de +, et montrer que C est au-dessus de D sur [-2;+[ et en dessous de D sur ]-;-2].
  1. Montrer que limx-fxx=+, puis donner une interprétation géométrique de ce résultat.
  1. Montrer que : x f'x=gx
  1. Dresser le tableau de variations de f.
  1. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution unique α dans , et en admettant que ee<5 montrer que -32<α<-1.
  1. Montrer que I(0,1) est le point d’inflexion pour la courbe C.
  1. Montrer que y=1 est l’équation de la tangente au point I(0,1) à la courbe C.
  1. Construire dans le repère O,i,j la droite D et la courbe C.
  1. En utilisant une intégration par partie montrer que : 01x+2e-xdx=3-4e
  1. Calculer, en cm2, l’aire du domaine limité par la courbe C et les droites d’équations y=x-1 et x=0 et x=1.

 

 

7-6/ Exercice 6

Partie I

On considère la fonction g définie par : g(x)=1-x+1ex

  1. Dresser le tableau de variation de g.
  1. Calculer g(0).
  1. En déduire le signe de g(x).
Partie II

Soit f la fonction définie sur  par : f(x)=x1-ex

On désigne par Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i,j.

  1. Calculer limx+fx et limx-fx.
  1. Montrer que la droite (D): y=x est une asymptote oblique à Cf  au voisinage de -, et préciser la position relative de D et Cf.
  1. Montrer que Cf admet au voisinage de + une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des ordonnées.
  1. Montrer que : x f'x=gx
  1. Dresser le tableau de variation de f.
  1. Montrer que Cf admet un point d’inflexion I dont on déterminera ses coordonnées.
  1. Construire D et Cf.
Partie III

On considère la suite un définie par u0=1 et un+1=fun pour tout n.

  1. Montrer que pour tout n on a : -1un0
  1. Déterminer la monotonie de la suite un, puis en déduire qu’elle est convergente.
  1. Calculer la limite de la suite un.